Головна

Диференційне рівняння

  1. IV. Теплові ефекти хімічних реакцій. Термохимические рівняння і розрахунки
  2. VIII. Іонні рівняння реакцій
  3. Аналіз загального рівняння площини і побудова площин
  4. Аналіз рівняння теплового балансу
  5. Аналіз стійкості системи по розташуванню коренів характеристичного рівняння на комплексній площині
  6. Внутрішні зусилля при згині. диференціальні залежності
  7. Висновок диференціального рівняння

1. Рівність виду  , Що містить незалежну змінну x, Шукану функцію y = y(x) І її похідні будь-якого порядку, називається диференціальним рівнянням.

2. Натуральне число n, Що є порядком старшої похідної, називається порядком диференціального рівняння.

3. Диференційним рівнянням 1-го порядку називається рівняння виду  або в диференціалах  . Якщо ці рівності можна дозволити відносно похідної, то їх записують у вигляді  або .

4. рішенням диференціального рівняння 1-го порядку називається функція y = J (x), Що має безперервну похідну  на деякому інтервалі (a; b) І звертає рівняння в правильну числову рівність.

5. завдання Коші для диференціального рівняння 1-го порядку: потрібно знайти рішення y = J (x) Рівняння, що задовольнить початковому умові y = y0 при x = x0.

6. спільним рішенням диференціального рівняння 1-го порядку називається функція y = J (x; С), Що містить довільну постійну С і задовольняє умовам: 1) при будь-яких початкових умовах (x0; y0) рівняння y0 = J (x0; С) Має бути вирішується щодо С так що С = Y (x0; y0); 2) при всіх значеннях постійної С = Y (x0; y0) функція y = J (x; y (x0; y0)) Повинна задовольняти диференціальних рівнянь.

7. Будь-яке рішення, що отримується із загального при фіксованому значенні постійної С називається приватним рішенням диференціального рівняння.

8. Рівняння виду  або  називається диференціальним рівнянням із перемінними. Приводяться до вигляду  або  шляхом поділу змінних x и y і потім почленно інтегруються.

9. Рівняння виду  називається однорідним диференціальним рівнянням. Використовується заміна:  або  , де  - Нова невідома функція, тоді  . Зводиться до диференціальних рівнянь із перемінними щодо нової функції, для якого знаходять спільне рішення. Записують спільне рішення вихідного рівняння за формулою .

10. Рівняння виду  називається лінійним диференціальним рівнянням. Використовується метод Бернуллі:  , де ,  - Нові невідомі функції, тоді  . отримуємо:  або  . підберемо функцію v так, щоб вираз в дужках дорівнювало нулю, тоді отримуємо  Перше рівняння - ДУ із перемінними, знаходимо його приватне рішення при С = 0. Знайдене приватне рішення підставляємо в друге рівняння, що є теж ДУ із перемінними і знаходимо його загальне рішення. Записуємо спільне рішення вихідного рівняння за формулою .

11. Рівняння виду  , де  називається диференціальним рівнянням Бернуллі. Використовується метод Бернуллі: .

12. Диференційним рівнянням 2-го порядку називається рівняння виду  . Якщо рівняння можна вирішити щодо  , То його записують у вигляді .

13. рішенням диференціального рівняння 2-го порядку називається функція y = J (x), Що має безперервні похідні ,  на деякому інтервалі (a; b) І звертає рівняння в правильну числову рівність.

14. завдання Коші для диференціального рівняння 2-го порядку: потрібно знайти рішення y = J (x) Рівняння, що задовольняє початковим умовам y = y0,  при x = x0.

15. спільним рішенням диференціального рівняння 2-го порядку називається функція y = J (x; С1; С2), Що містить дві довільні постійні С1, С2 і задовольняє умовам: 1) при будь-яких початкових умовах  система рівнянь  повинна бути розв'язана відносно постійних С1, С2 так що  2) при всіх значеннях цих постійних С1, С2 функція y = J (x; C1; C2) Звертає диференціальне рівняння в правильну числову рівність.

16. Будь-яке рішення, що отримується із загального при фіксованих значеннях постійних С1, С2 називається приватним рішенням диференціального рівняння.

17. Диференціальні рівняння 2-го порядку, допускають зниження порядку:

а)  вирішується повторним інтеграцією.

б)  , Явно не містить шуканої функції  . Використовується заміна:  , де  - Нова невідома функція, тоді  . Для нового рівняння щодо функції p знаходимо спільне рішення і підставляємо його в формулу  . Отримуємо ДУ із перемінними щодо функції y, Знаходимо його загальне рішення.

в)  , Явно не містить незалежної змінної  . заміна:  , де  , тоді  . Для нового рівняння щодо функції p знаходимо спільне рішення і підставляємо його в формулу  . Отримуємо ДУ із перемінними щодо функції y, Знаходимо його загальне рішення.

18. Лінійним однорідним диференціальним рівнянням 2-го порядку з постійними коефіцієнтами називається рівняння виду  . Складається характеристичне рівняння .

якщо  , то  і загальне рішення вихідного рівняння має вигляд: .

якщо  , то и .

якщо  , то и .

19. Лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням 2-го порядку з постійними коефіцієнтами з правою частиною спеціального виду називається рівняння виду  . Його спільне рішення шукається у вигляді  , де  - Спільне рішення відповідного лінійного однорідного диференціального рівняння 2-го порядку з постійними коефіцієнтами:  , а  - Будь-яке приватне рішення вихідного рівняння.

якщо  , Де a - деяке число, Pn(x) - Многочлен степеня n, то  , де  - Многочлен ступеня  з невизначеними коефіцієнтами,  - Число, рівне кратності a як кореня характеристичного рівняння  відповідного лінійного однорідного диференціального рівняння 2-го порядку з постійними коефіцієнтами .

якщо  , Де a, b - деякі числа, Pn(x), Qm(x) - Многочлени ступені n і m відповідно, то  , де  - Багаточлени ступеня  з невизначеними коефіцієнтами, ,  - Число, рівне кратності  як кореня характеристичного рівняння  відповідного лінійного однорідного диференціального рівняння 2-го порядку з постійними коефіцієнтами .

ряди




Основні теоретичні відомості. | Важливі виключення з теореми | Механічний зміст похідної | застосування похідної | Дотична площину і нормаль до поверхні | Екстремум функції двох змінних | Зразок рішення контрольної роботи № 2. | Основні теоретичні відомості. | Визначений інтеграл | Додатки певного інтеграла в геометрії |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати