Головна

Зразок рішення контрольної роботи № 3.

  1. Excel для вирішення прикладних завдань
  2. I. Роботи Г. П. Щедровицького
  3. I. Мета роботи
  4. I. Мета роботи
  5. I. Мета роботи
  6. I. Мета роботи
  7. II. Загальна характеристика методологічної роботи

Завдання 1.Знайти невизначені інтеграли. Результати перевірити диференціюванням.

1)  ; 2) ;

3)  ; 4) .

Рішення. 1) Інтеграл перетворимо до табличному методом заміни змінної. Так як  , То, вводячи нову змінну  знаходимо інтеграл:

.

Перевірка. Покажемо, що похідна від знайденого невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції. По властивості невизначеного інтеграла це означає, що інтеграл знайдено вірно.

 . Інтеграл знайдено вірно.

2) Перетворимо інтеграл до виду :

 . Враховуючи що

 , То після введення нової змінної  отримуємо табличний інтеграл:

.

Перевірка.

 . Інтеграл знайдено вірно.

3) Для інтегрування твори статечної функції на трансцендентну функцію (тригонометричну, назад тригонометричну, показову або логарифмічну) застосовується метод інтегрування частинами, що спирається на використання формулу інтегрування частинами  . (*)

нехай и  , тоді и .

Застосовуючи формулу (*), знаходимо:

.

Перевірка.

 . Інтеграл знайдено вірно.

4) Для знаходження невизначеного інтеграла від неправильної раціонального дробу, ступінь чисельника якої більше або дорівнює ступеню знаменника, виділимо з дробу цілий многочлен і правильну дріб, використовуючи розподіл многочленів «куточком»:


Таким чином, маємо:

Отже, по властивості невизначеного інтеграла

 (*)

В останньому інтегралі квадратний тричлен  має два дійсних кореня, які знаходимо з квадратного рівняння :

Після цього правильна раціональна дріб  може бути розкладена на суму двох простих елементарних дробів методом невизначених (буквених) коефіцієнтів наступним чином:

 (* *), Де А и В - Невизначені коефіцієнти.

Наводячи до спільного знаменника суму  і групуючи за ступенями змінної х, Отримуємо:

.

З рівності (* *) випливає, що  , А це можливо тоді і тільки тоді, коли  або  Вирішуючи систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими, знаходимо невизначені коефіцієнти: , .

Підставами знайдені значення А и В в рівність (* *), отримаємо:

отже,

Вихідний інтеграл у формулі (*) набуде вигляду:

.

Перевірка.

 . Інтеграл знайдено вірно.

відповідь: 1)  ; 2)  ; 3)  ; 4) .

Завдання 2.Обчислити за формулою Ньютона-Лейбніца певний інтеграл .

Рішення. Формула Ньютона - Лейбніца має вигляд:

Для обчислення заданого інтеграла використовуємо метод заміни змінної в певному інтегралі: , , .

Знайдемо межі інтегрування для нової змінної t. якщо  , то  . якщо  , то  . Отже,  Обчислюємо інтеграл, переходячи до нової змінної з новими межами інтегрування:

відповідь: .

Завдання 3.Обчислити площу фігури, обмеженою графіками функцій и  . Зробити креслення.

Рішення. Для виконання креслення (малюнка фігури) знайдемо координати вершини параболи і точок перетину параболи з прямою. Вершина параболи знаходиться в точці  екстремуму функції  Тому знайдемо похідну і прирівняємо її нулю.

За рівняння параболи знаходимо  Вершина параболи знаходиться в точці  , Гілки параболи спрямовані вниз.

Для знаходження точок перетину параболи і прямої необхідно вирішити систему двох рівнянь:

Точками перетину є и  Робимо креслення фігури.

 
 


Для обчислення площі S отриманої фігури будемо використовувати формулу:  , де  - Рівняння кривої, яка обмежує фігуру зверху, а  - Рівняння кривої, що обмежує фігуру знизу, и  - Абсциси відповідно лівої і правої точок перетину кривих. У нашому випадку: , , и .

Обчислюємо площу фігури:

 (Кв. Од.).

відповідь: 4,5 (кв. Од.).

Завдання 4. Обчислити обсяг тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, обмеженою графіками функцій и .

Рішення. Для виконання креслення фігури знайдемо координати точок перетину параболи з прямою, вирішивши систему двох рівнянь:

Точками перетину є и  . Робимо креслення фігури.

 
 


Для обчислення обсягу V, Одержуваного при обертанні даної фігури навколо осі Ох, Будемо використовувати формулу:  , де  - Рівняння кривої, яка обмежує фігуру зверху, а  - Рівняння кривої, що обмежує фігуру знизу, и  - Абсциси відповідно лівої і правої точок перетину кривих. У нашому випадку: , , и .

Обчислюємо об'єм:

 (Куб. Од.).

відповідь:  (Куб. Од.).

4.1. Контрольна робота № 4. «Диференціальні рівняння. Ряди ».

1. Знайти загальний розв'язок лінійного диференціального рівняння і приватне рішення, що задовольнить початковому умові y(x0) = y0.

1. ,  . 2. , .

3. , y(0) = 5. 4. , y(-2) = 5.

5. , y(0) = 2. 6. , y(1) = e.

7. , y(3) = 1. 8. , y(0) = 2.

9. , y(1) = 0. 10. , y(0) = 3.

2. Знайти загальний розв'язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння 2-го порядку з постійними коефіцієнтами з правою частиною спеціального виду і приватне рішення, яке задовольняє початковим умовам y(x0) = y0 и

1. , y(0) = -2, .

2. , y(0) = 3, .

3. , y(0) = -3, .

4. , y(0) = -1, .

5. , y(0) = 1, .

6. , y(0) = 2, .

7. , y(0) = 2, .

8. , y(0) = 3, .

9. , y(0) = 0, .

10. , y(0) = 0, .

3. Написати три перших члена статечного ряду, знайти його область абсолютної збіжності.

1.  . 2.  . 3. .

4.  . 5.  . 6. .

7.  . 8.  . 9. .

10. .

4. Обчислити визначений інтеграл з точністю до 0,001, розклавши підінтегральної функції в степеневий ряд.

1.  . 2.  . 3. .

4.  . 5.  . 6. .

7.  . 8.  . 9. .

10. .




Зразок рішення контрольної роботи № 1. | Основні теоретичні відомості. | Важливі виключення з теореми | Механічний зміст похідної | застосування похідної | Дотична площину і нормаль до поверхні | Екстремум функції двох змінних | Зразок рішення контрольної роботи № 2. | Основні теоретичні відомості. | Визначений інтеграл |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати