На головну

Розкладання векторів за базисом

  1. Векторний добуток векторів
  2. Векторний добуток векторів
  3. Векторного добутку ВЕКТОРІВ.
  4. Векторний добуток двох векторів
  5. Векторний добуток двох векторів
  6. Вибір початкових значень вагових векторів
  7. Вираз однієї системи векторів через іншу

нехай  - Вектори простору R;  - Скаляри, тоді вектор  називається лінійною комбінацією векторів .

якщо вектор  дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли всі числа  , То кажуть, що вектори лінійно незалежні.

якщо вектор  дорівнює нулю і серед чисел  є хоча б одне, відмінне від нуля, то кажуть, що вектори лінійно залежні.

 Теорема 1. якщо вектори , Що належать простору R, лінійно залежні, то принаймні, хоча б один з них є лінійною комбінацією інших.  

Простір R називається n-мірним, Якщо в ньому існує n лінійно незалежних векторів і не існує більшого числа лінійно незалежних векторів.

сукупність n лінійно незалежних векторів n мірного простору R називається базисом цього простору.

Якщо нам задана в тривимірному просторі система декартових прямокутних координат, то разом з нею ми будемо розглядати трійку векторів, яку позначимо символами  . Ці вектори визначаються наступними умовами:

1) вектор  лежить на осі  , вектор  - На осі  , вектор  - На осі ;

2) кожен з векторів  спрямований на своїй осі в позитивну сторону;

3) вектори  - Поодинокі, тобто .

Будь-вектор в просторі може бути виражений через  за допомогою лінійних операцій. подання вектора  у вигляді суми  називається розкладанням вектора  по базису  . числа  називаються коефіцієнтами цього розкладання; вектори  називаються складовими (Або компонентами) вектора  по базису .

 Теорема 2.  Яким би не був вектор  , Він завжди може бути розкладений за базисом  , Тобто може бути представлений у вигляді Коефіцієнти цього розкладання визначаються як проекції вектора на координатні осі, тобто , , .

зауваження. Розкладання векторів можна проводити не тільки по базису .

зауваження. три вектора , ,  можуть бути базисом простору  , Якщо визначник, складений з координат цих векторів буде не рівним нулю, тобто

.

 Теорема 3.  Яким би не був вектор  , Він завжди може бути виражений у вигляді лінійної комбінації векторів  , Тобто . Такий вираз вектора  називається розкладанням його по базису .

Наприклад, якщо потрібно розкласти вектор  по базису , ,  , Тобто представити у вигляді:  , Слід виконати такі дії:

1) перевірити, чи дійсно вектори  утворюють базис в просторі  , Тобто

;

2) Знайти  з системи

3) Уявити  у вигляді  (В базисі  вектор  матиме координати  ).

приклад 2.1. Показати, що вектори , ,  утворюють тривимірний базис і знайти координати вектора  в цьому базисі.

Рішення.

1) .

Визначник не дорівнює нулю, тобто вектори  утворюють тривимірний базис.

2) Для обчислення координат вектора  в цьому базисі складемо систему лінійних рівнянь:

звідси,

, , .

3) Таким чином,  . Тобто вектор  в базисі  має координати: .

 




властивості операцій | Методи обчислення визначника третього порядку | властивості визначників | Ранг матриці | зворотна матриця | Рішення. | Теорема Кронекера-Капеллі | Рішення. | Рішення систем лінійних рівняння методом Крамера | Рішення систем лінійних рівнянь методом оберненої матриці |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати