Головна

Векторний добуток векторів

  1. N-мірне векторний простір дійсних
  2. N-мірне векторний простір дійсних чисел. завдання
  3. N-мірне векторний простір дійсних чисел. Комп'ютерна частина
  4. N-мірне векторний простір дійсних чисел. математична частина
  5. N-мірний вектор і векторний простір
  6. VII. Електролітична дисоціація. Ступінь електролітичноїдисоціації. Іонний добуток води. твір розчинності
  7. Векторне і нормальне рівняння площині

Векторний добуток векторів існує тільки в тривимірному просторі, на площині воно не визначено.

 - Права трійка
 Мал. 13
 Визначення. Упорядкована трійка некомпланарних векторів називається правоорієнтованого або просто правою, Якщо з кінця третього вектора найкоротший поворот від першого до другого видно проти годинникової стрілки (рис. 14). В протилежному випадку трійка називається лівоорієнтованої або лівої (Початку векторів трійки передбачаються суміщеними).

Визначення. векторним творомвекторів и  називається вектор  , Що задовольняє наступним умовам:

 Мал. 14
 1)  , Де j - кут між векторами и , ;

2) вектор  ортогонален векторах и ;

3) , и  утворюють праву трійку векторів.

позначається:  або  (Рис. 15).

Для ортонормованих векторів  твір будь-яких двох суміжних векторів послідовності

 (2.14)

дає наступний вектор зі знаком «+», а в зворотній послідовності зі знаком «-». наприклад,

, .

Геометричний сенс векторного твори

j
 Мал. 15
 Для неколінеарних векторів и  модуль їх векторного твори  дорівнює площі паралелограма, побудованого на цих векторах (рис. 16).

Властивості векторного твори

1) .

Це властивість очевидно, т. К. Синус - функція непарна.

2)  , якщо  або  = 0 або  = 0.

Якщо вектора колінеарні, то .

3) (l  ) ' =  '(L  ) = L ( ?  );

4)  '( +  ) = ? + ? ;

5) Якщо задані вектори {xa, ya, za} і {xb, yb, zb} В декартовій прямокутній системі координат з одиничними векторами  , то

? = .

Доведення. розкладемо вектори и  по базису

На підставі властивостей векторного добутку ми можемо перемножать праві частини почленно з урахуванням формули (2.14)

Деякі додатки векторного твори

1 °. Встановлення коллінеарності векторів.

якщо  , то  (І навпаки), т. Е.

? =  або .

2 °. Знаходження площі паралелограма і трикутника.

Дійсно, площа паралелограма, сторонами якого служать вектори и  , Дорівнює модулю їх векторного

твори  , А площа трикутника зі сторонами и  обчислюється за формулою .

О
l
 Мал. 16
 3 °. Визначення моменту сили відносно точки.

якщо сила  повертає тіло навколо осі l, То момент  сили  щодо точки О, дорівнює  (Рис. 17).

Прімер14. Знайти векторний добуток векторів и .

Рішення.

 = (2, 5, 1),  = (1, 2, -3).

.

Прімер15. Обчислити площу трикутника з вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3), С(0, 1, 0).

Рішення. Випишемо координати векторів и

, .

Знайдемо векторний добуток векторів

значить,  (од2).

Прімер16. Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах  , якщо

Рішення.

.

 (од2).

Прімер17. сила  прикладена в точці В(1, 2, 3). знайти момент  цієї сили відносно точки А(2, -1, 0).

Рішення. Визначимо координати вектора  . Для моменту сили отримуємо вираз

.

 




Лінійна алгебра та аналітична геометрія | Вступ | Елементи лінійної алгебри | Визначники | Завдання і приклади для самостійного рішення | Поняття оберненої матриці | Ранг матриці | Дослідження систем лінійних рівнянь | Завдання і приклади для самостійного рішення | Поняття вектора. Лінійні операції над векторами і їх основні властивості |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати