загрузка...
загрузка...
На головну

Дослідження систем лінійних рівнянь

  1. Barebone-системи
  2. C) дається приклад країни, успішно поєднати у своїй правовій системі ознаки романо-германський системи права із загальним правом.
  3. CASE-технологія створення інформаційних систем
  4. CASE-технологія створення інформаційних систем.
  5. D) тріщинуваті - дві системи тріщин з відстанню між тріщинами більше 1,5
  6. DNS - система доменних імен
  7. I. Загальна характеристика СИСТЕМИ ПІДГОТОВКИ СПОРТСМЕНІВ У ЗИМОВОМУ універсальний БОЮ

Основні поняття

Системою лінійних алгебраїчних рівнянь, що містить m рівнянь і n невідомих, називається система виду

 (1.3)

де числа aij, ,  називаються коефіцієнтами системи, числа bi - вільними членами, числа xn - Невідомі, які підлягають визначенню.

Систему рівнянь можна записати в компактній матричної формі

A?X = B,  (1.4)

де A =  - Матриця коефіцієнтів системи;

X =  - Вектор-стовпець з невідомих xj;

B =  - Вектор-стовпець з вільних членів bi.

твір A?X має сенс, тому що число стовпців матриці А дорівнює числу рядків матриці Х.

розширеної матрицею системи називається матриця  системи, доповнена стовпчиком вільних членів

.

рішенням системи називається n значень невідомих x1 = c1, x2 = c2, ..., xn = cn, При підстановці яких все рівняння системи звертаються в вірні рівності. Будь-яке рішення системи можна записати у вигляді матриці-стовпця

.

Система рівнянь називається спільної, Якщо вона має хоча б одне рішення, і несумісною, Якщо вона не має жодного рішення.

Спільна система називається певної, Якщо вона має єдине рішення, і невизначеною, Якщо вона має більше одного рішення. В останньому випадку кожне її рішення називається приватним рішенням системи. Сукупність усіх приватних рішень називається спільним рішенням.

вирішити систему - Означає з'ясувати, сумісна вона або несумісна. Якщо система сумісна, знайти її спільне рішення.

Теорема про базисному мінорі дозволяє дати просте і ефективне умова спільності системи лінійних рівнянь виду (1.3), що носить назву теореми Кронекера - Капеллі (Леопольд Кронекер (1823-1891) німецький математик).

Теорема1.3. (Умова спільності системи). Система лінійних алгебраїчних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці

r(A) = .

Очевидно, що система (1.3) може бути записана у вигляді

x1 + x2  + ... + xn .

Доведення.

1) Якщо рішення існує, то стовпець вільних членів є лінійна комбінація стовпців матриці А, А значить додавання цього стовпчика в матрицю, т. Е. Перехід А ®  не змінюють рангу.

2) Якщо r(A) =  , То це означає, що вони мають один і той же базисний мінор. Стовпець вільних членів при цьому є лінійна комбінація стовпців базисного мінору.

Для спільних систем лінійних рівнянь мають місце такі теореми.

Теорема1.4. Якщо ранг спільної системи дорівнює числу невідомих, т. Е. R = n, то система (1.3) має єдине рішення.

Теорема1.5. Якщо ранг спільної системи менше числа невідомих, т. Е. R (1.3) невизначена і має безліч рішень.

В разі r < n, r змінних x1, x2, ..., xr називаються основними (базисними), Якщо визначник матриці з коефіцієнтів при них (т. Е. Базисний мінор) відмінний від нуля. решта n - r змінних називаються неосновними (або вільними).

Прімер14. Дослідити на спільність систему

Рішення.

, r(A) = 1,

, .

Таким чином,  , Отже, система несумісна.

Прімер15. Дослідити на спільність систему

Рішення.

A =

~ . , r(A) = 2.

,

Таким чином,  , Отже, система несумісна.

Прімер16. вирішити систему

Рішення.

.

Можна помітити, що третій рядок матриці  є лінійною комбінацією перших двох рядків, тому беремо перші два рівняння


значить невідомі x1, x2 є базисними, інші змінні х3, х4 - Вільні. Висловимо базисні змінні через вільні

отже, х2 =  (-3 + 3х3 - 6х4), х1 =  (1 - х3 + 2х4) - загальне рішення. Поклавши, наприклад, х3 = 0, х4 = 0, отримуємо одне з приватних рішень: х1 = , х2 = .

Рішення невироджених лінійних систем. Формули Крамера. Матричний спосіб.

Дані методи застосовуються лише в разі систем лінійних рівнянь, де число змінних збігається з числом рівнянь. Крім того, необхідно ввести обмеження на коефіцієнти системи. Необхідно, щоб всі рівняння були лінійно незалежні, т. Е. Жодне рівняння не було б лінійною комбінацією інших.

Для цього необхідно, щоб визначник матриці системи не дорівнював нулю det A ? 0.

Нехай дана система n лінійних рівнянь з n невідомими

Систему рівнянь можна записати в матричній формі (1.4).

Основна матриця А такої системи квадратна. Визначник такої матриці

називається визначником системи. Якщо визначник системи відмінний від нуля, то система називається невироджених.

Знайдемо рішення даної системи в разі .

Зробимо наступне перетворення: A-1?A?X = A-1?B, Т. К. А-1?А = Е, то Е?Х = А-1?В або

Х = А-1?В.  (1.5)

Відшукання рішення системи за формулою (1.5) називається матричним способом рішення.

Для застосування даного методу необхідно знаходити зворотну матрицю, що може бути пов'язано з обчислювальними труднощами при вирішенні систем високого порядку.

Прімер17. Вирішити систему рівнянь матричним способом

Рішення.

Х = , B = , A = .

Т. к.  , То дана система має єдине рішення. Знайдемо обернену матрицю А-1.

M11 =  = -16; M21 =  = -9; M31 =  = 11;

M12 = M22 = M32 =

M13 = M23 = M33 =

A-1 = .

Зробимо перевірку:

.

знаходимо матрицю Х

Х = = А-1В = ? =

Значить, рішення системи: x = 1; y = 1; z = 1.

Матричне рівність (1.5) запишемо у вигляді

або

але  є розкладання визначника

за елементами першого стовпчика. визначник  виходить з визначника D шляхом заміни першого стовпчика коефіцієнтів стовпцем з вільних членів. Отже,

аналогічно:  де  отриманий з D шляхом заміни другого шпальти коефіцієнтів стовпцем з вільних членів;  ...,

формули

 (1.6)

називаються формулами Крамера (Габріель Крамер (1704-1752) швейцарський математик).

Прімер18. Вирішити систему за формулами Крамера

Рішення.

, , .

значить,

, .

Рішення систем лінійних рівнянь методом Гаусса.

На відміну від матричного методу і методу Крамера, метод Гаусса (Карл Фрідріх Гаус (1777-1855) німецький математик) може бути застосований до систем лінійних рівнянь з довільним числом рівнянь і невідомих. Суть методу полягає в послідовному виключенні невідомих.

Розглянемо систему лінійних рівнянь

Процес рішення по методу Гаусса складається з двох етапів. На першому етапі (прямий хід) система зводиться до ступенчатому (зокрема, трикутного) Виду. Наведена нижче система має ступінчастий вигляд

де k ? n, dii ? 0,  . коефіцієнти dii називаються головними елементами системи.

На другому етапі (зворотний хід) йде послідовне визначення невідомих з ступеневої системи.

До елементарним перетворенням системи рівнянь належать такі перетворення

1 °. Перестановка рівнянь місцями;

2 °. Перестановка доданків місцями;

3 °. Множення обох частин будь-якого рівняння на будь-яке число, відмінне від нуля;

4 °. Додаток до обох частин одного рівняння відповідних частин іншого, помножених на одне і те ж число, не рівне нулю.

Ступінчаста система отримана за допомогою елементарних перетворень системи наступним чином:

Розділимо обидві частини 1-го рівняння на a11 ? 0 (якщо a11 = 0, то першим в системі запишемо рівняння, в якому коефіцієнт при х1 відмінний від нуля), потім

1) помножимо на а21 і віднімемо з другого рівняння;

2) помножимо на а31 і віднімемо з третього рівняння і т. д.

Далі повторюємо ці ж дії для другого рівняння системи, потім - для третього і т. Д.

Прімер19. Вирішити систему методом Гаусса

Рішення. Складемо розширену матрицю системи

.

 -2
 -2
 Наведемо матрицю  до східчастого увазі (прямий хід методу Гаусса) за допомогою еквівалентних перетворень. Необхідно на першому етапі, щоб а11 ? 0, але зручніше для обчислень, щоб а11 = 1, тому поміняємо місцями першу і другу рядки

 -4
 -19
 : (-29)


Розширена матриця приведена до ступінчастого вигляду. Відповідна система має вигляд

Далі послідовно визначаємо невідомі

Отже, х1 = 1, х2 = 2, х3 = 3, х4 = 4 або (1; 2; 3; 4).

Системи лінійних однорідних рівнянь

Система (1.3) називається однорідної, Якщо всі вільні члени рівнянь дорівнюють нулю

 (1.7)

Очевидно, що однорідна система завжди сумісна (r(A) = r(  )), вона має нульове (тривіальне) рішення х1 = х2 = ... = хn = 0.

Теорема1.6. Для того щоб система однорідних рівнянь мала нетривіальні рішення, необхідно і достатньо, щоб ранг r її основної матриці був менше числа n невідомих, т. Е. R

Доведення. Необхідність. Так як ранг не може перевершувати розміру матриці, то r ? n. нехай r = n. Тоді один з мінорів Mn?n ? 0. Тому відповідна система лінійних рівнянь має єдине рішення:  , Di = 0, D ? 0. Отже, інших, крім тривіальних, рішень немає. Отже, якщо є нетривіальне рішення, то r < n.

Достатність. нехай r < n. Тоді однорідна система, будучи спільної, є невизначеною, т. Е. Має і ненульові рішення.

Нехай дана однорідна система n лінійних рівнянь з n невідомими

теорема 1.7. Для того щоб однорідна система n лінійних рівнянь з n невідомими мала ненульові рішення, необхідно і достатньо, щоб її визначник D дорівнював нулю, т. е. D = 0.

Приклад 20. Розв'язати однорідну систему

Рішення.

, , r(A) = 2.

Т. к. r < n, То система має безліч рішень. змінні х1 и х2 є базисними, змінна х3 - Вільна.

.

Отже, ,  вважаючи х3 = с (с - Const), отримаємо  - Спільне рішення системи.

фундаментальна система? (потрібно)

 




Лінійна алгебра та аналітична геометрія | Лінійна алгебра та аналітична геометрія | Вступ | Елементи лінійної алгебри | Визначники | Завдання і приклади для самостійного рішення | Поняття оберненої матриці | Поняття вектора. Лінійні операції над векторами і їх основні властивості | Скалярний добуток векторів | Векторний добуток векторів |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати