Головна

знакозмінні ряди

  1. Знакозмінні і Знакозмінні ряди
  2. Знакозмінні і Знакозмінні ряди. Поняття абсолютної і умовної збіжності. Знакозмінні ряди лейбніцевского типу

Визначення.Під знакозмінних поруч  розуміється ряд, в якому будь-який член може бути як позитивним, так і негативним.

Теорема (достатня ознака збіжності знакозмінного ряду).Якщо ряд, складений з абсолютних величин членів знакозмінного ряду  сходиться, то сходиться і вихідний ряд.

Визначення. ряд називається абсолютно збіжним, Якщо ряд, складений з абсолютних величин його членів, сходиться.

Визначення. ряд називається умовно збіжним, Якщо сам ряд сходиться, а ряд, складений з абсолютних величин його членів, розходиться.

Приклад.Дослідити на абсолютну збіжність ряд .

Рішення. Складемо ряд з абсолютних величин членів даного ряду:  . Застосуємо ознаку Даламбера: , ,  , Тобто ряд, складений з модулів членів вихідного ряду, сходиться.

Отже, Знакозмінні ряд  сходиться абсолютно.

48. Умови розкладання функцій в степеневий ряд. Ряд Маклорена. Розкладання в ряд Маклорена функції у = еx (Висновок). Інтервал збіжності отриманого ряду

Визначення. Ряди, членами яких є функції, називаються функціональними, зокрема, якщо членами ряду є статечні функції, то такі ряди називаються статечними: (14.1)

де числа  - Коефіцієнти ряду.

Визначення. Сукупність тих значень  , При яких статечної ряд (14.1) сходиться, Називається областю збіжності степеневого ряду.

Приклад. Знайти область збіжності степеневого ряду . Рішення. Цей ряд можна розглядати як геометричний ряд зі знаменником  , Який сходиться при  . Звідки область збіжності є інтервал .

теорема Абеля. 1) Якщо степеневий ряд сходиться при значенні  (Відмінному від нуля), то він сходиться і, до того ж абсолютно, При всіх значеннях  таких, що  . 2) Якщо степеневий ряд розходиться при  , То він розходиться при значеннях  таких, що .

слідство. З теореми Абеля слід, що існує таке число  , Що при  ряд сходиться, а при  - Розходиться.

 число  отримало назву радіусу збіжності, а інтервал  - Інтервал збіжності степеневого ряду (рис. 14.1) .На кінцях відрізка  ряд може як сходитися, так і розходитися.

Приклад. Знайти радіус збіжності степеневого ряду (14.1), якщо всі коефіцієнти  (Принаймні з деякого номера  відмінні від нуля).

Рішення. За ознакою Даламбера ряд сходиться, якщо  буде менше 1. Тобто  або  . Якщо ця межа існує, то він і є радіусом збіжності . (14.2)

Приклад. Знайти область збіжності степеневого ряду: . Рішення. Радіус збіжності визначається за формулою (14.2)  , Тобто область збіжності .




Обчислення площ плоских фігур за допомогою визначеного інтеграла. Приклади. | Поняття про диференціальному рівнянні. Загальне і приватне рішення. Завдання Коші. Завдання про побудову математичної моделі демографічного процесу. | Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь 1-го порядку. | Однорідні диференціальні рівняння 1-го порядку. | Лінійні диференціальні рівняння 1-го порядку. | Визначення числового ряду. Збіжність числового ряду. Необхідна ознака збіжності рядів (довести). Приклади. | Властивості збіжних рядів | Необхідна ознака збіжності | Розбіжність гармонійного ряду | Достатні ознаки збіжності ряду з позитивними членами |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати