На головну

Поняття про диференціальному рівнянні. Загальне і приватне рішення. Завдання Коші. Завдання про побудову математичної моделі демографічного процесу.

  1. Amp; Завдання №3 Імпорт таблиць
  2. Amp; Завдання №4 Створення таблиці за допомогою Конструктора.
  3. Amp; Завдання №5 Створити зв'язку встановленого типу. Друк Схеми БДБазаПочтаФамілія.
  4. Amp; Завдання №6 Заповнення таблиць БДБазаПочтаФамілія.
  5. D. Модальність суджень, або судження, соотносящие поняття з наявним буттям
  6. I. НАУКОВЕ ПОНЯТТЯ ФАБРИКИ
  7. I. Загальне розслідування

Визначення.Диференціальним рівнянням називається рівняння, що зв'язує шукану функцію однієї або декількох змінних, ці змінні і похідні різних порядків шуканої функції.

Визначення.Якщо шукана функція залежить від однієї змінної, то диференціальне рівняння називається звичайним, Якщо від декількох змінних - то рівнянням в приватних похідних.

Розглянемо приклад. знайти первісну  , якщо .

Рішення. Раніше ми це завдання вирішували за допомогою невизначеного інтеграла. Однак, її можна розглядати як задачу про знаходження функції  , Що задовольняє рівняння . .

У загальному випадку диференціальне рівняння можна записати у вигляді:

. (12.1)

наприклад: .

Визначення.диференціальне рівняння  -го порядку називається дозволеним відносно старшої похідної, якщо воно має вигляд:

, (12.2)

де  - Деяка функція від  змінної.

Визначення.Рішенням диференціального рівняння (12.1) називається така функція  , Яка при підстановці її в це рівняння звертає їх у тотожність.

наприклад,  є рішення рівняння  , Тому що .

Визначення.Завдання про знаходження рішення деякого диференціального рівняння називається завданням інтегрування цього диференціального рівняння. Графік рішення диференціального рівняння називається інтегральної кривої.

Приклад. Вирішити рівняння: .

Рішення. оскільки  , то  . Інтегруючи ліву і праву частину рівності, отримаємо  . Оскільки  , То розділивши змінні маємо  . Інтегруючи вдруге, отримаємо рішення: , .

Перевірка: .

Визначення.спільним рішенням диференціального рівняння (12.1)  -го порядку називається таке його рішення  , Яке є функцією змінних и  довільних постійних .

Визначення. приватним рішенням диференціального рівняння називається рішення, що отримується із загального рішення при деяких конкретних числових значеннях постійних .

наприклад, Для рівняння  , де .

Завдання про побудову математичної моделі демографічного процесу. завдання Коші

Завдання. З статистичних даних відомо, що для деякого регіону число новонароджених і померлих пропорційно поточної чисельності населення з коефіцієнтами пропорційності и  відповідно. Описати протікання демографічного процесу в часі (знайти закон зміни чисельності населення з плином часу).

Рішення. нехай  - Поточна чисельність населення  . За час  маємо  народжених і  померлих, тоді приріст населення за  є:

 , або  , де .

Переходячи до межі при  , отримаємо ,

- Диференціальне рівняння демографічного процесу.

Вирішуючи це рівняння, отримаємо: .

Постійна інтегрування  є чисельність населення при  , Тобто .

Остаточно, маємо .

Визначення. Завданням Коші називається задача, в якій для диференціального рівняння задані тільки початкові умови (  і т.д.) і не накладається ніяких граничних умов, (тобто межа відсутня).

пояснення. Для повного опису еволюції будь-якого процесу крім диференціального рівняння необхідно, по-перше, поставити картину процесу в певний фіксований момент часу (початкові умови  і т.д.) і, по-друге, поставити режим на кордоні області, де протікає процес (граничні умови).

 




Властивості невизначеного інтеграла | Метод заміни змінної (метод підстановки). | Метод інтегрування частинами для випадків невизначеного і визначеного інтегралів (вивести формулу). Приклади. | Методи обчислення визначеного інтеграла | Визначений інтеграл як межа інтегральної суми. Властивості визначеного інтеграла. | Економічний сенс певного інтеграла. | Властивості визначеного інтеграла | Визначений інтеграл із змінною верхньою межею | Формула Ньютона-Лейбніца. | Невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати