Головна |
1) нехай функція неотрицательна і неперервна на відрізку . Тоді виходячи з геометричного сенсу певного інтеграла площа криволінійної трапеції, обмеженої кривою і прямими (Рис. 10.2) чисельно дорівнює визначеному інтегралу:
. (11. 1)
Приклад. Знайти площу фігури, обмеженої лініями .
Рішення. 1 спосіб. З малюнка 11.1 видно, що шукана площа дорівнює: . Знайдемо координати точки : , Звідки для точки маємо , А для точки маємо . ; ; |
2 спосіб. Якщо рівняння кривої записати у вигляді , То шукана площа буде : .
2) якщо функція непозитивним і неперервна на відрізку (Рис. 11.2), то площа
над кривою на відрізняється знаком від певного інтеграла: т.е . (11. 2) |
Приклад. Знайти площу фігури, обмеженої кривою і віссю абсцис.
Рішення. На рис. 11.3 наведена плоска фігур, обмежена параболою , Вершина якої знаходиться в точці , І віссю . Парабола перетинає вісь в точках з координатами и . Площа цієї фігури, згідно формули (11.2), дорівнює
(Од. ). |
3) Теорема. Якщо на відрізку задані неперервні функції и такі, що (Рис. 11.4).
тоді площа фігури, укладеної між кривими и на відрізку , Обчислюється за формулою: . (11.3) |
Приклад. Знайти площу фігури, обмеженої лініями:
. Рішення. З рис. 11.5 видно, що шукана площа знаходиться за формулою (11.3), вважаючи . . |
Поняття первісної та невизначений інтеграл | Властивості невизначеного інтеграла | Метод заміни змінної (метод підстановки). | Метод інтегрування частинами для випадків невизначеного і визначеного інтегралів (вивести формулу). Приклади. | Методи обчислення визначеного інтеграла | Визначений інтеграл як межа інтегральної суми. Властивості визначеного інтеграла. | Економічний сенс певного інтеграла. | Властивості визначеного інтеграла | Визначений інтеграл із змінною верхньою межею | Формула Ньютона-Лейбніца. |