На головну

Зв'язок між диференціюється і її безперервністю

  1. D) тріщинуваті - дві системи тріщин з відстанню між тріщинами більше 1,5
  2. F52.3 Организмическая дисфункції
  3. II. Типи відносин між членами синтагми
  4. III. Позитивний зворотний зв'язок в науках про суспільство
  5. IX. 14. Міжнародні відносини на початку 1990-х.
  6. IX. Зворотні тригонометричні функції
  7. IX. Вимовте слова, дотримуючись відмінність між звуками за ступенем відкритості.

Приклад. Довести, що функція y= ¦х¦ недіфференціруемого в точці х= 0.

Рішення. Похідна функції (якщо вона існує) дорівнює

Очевидно, що при х= 0 похідна не існує, так як відношення  , Тобто не має меж при ?х> 0 (ні кінцевого, ні нескінченного). Геометрично це означає відсутність дотичній до кривої в точці х= 0.

Теорема. Якщо функція y = f (x) диференційована в точці х0,, То вона в цій точці неперервна.

? Доказ.За умови функція y = f(x) Диференційована в точці х0, Тобто існує кінцевий межа

де f '(x0) - Постійна величина, яка не залежить від .

Тоді на підставі теореми про зв'язок нескінченно малих величин з межами функцій можна записати

де ? (?х) є нескінченно малою величиною при  > 0, або

.

при ?х> 0 на підставі властивостей нескінченно малих величин встановлюємо, що ?у> 0 і, отже, за визначенням безперервності функції в точці, робимо висновок, що функція неперервна в струмі х0. ¦

Зворотній теорема, взагалі кажучи, невірна, якщо функція неперервна в цій точці, то вона не обов'язково диференційована в цій точці. Так, функція y= ¦х¦ неперервна в точці х0= 0, бо  але, як було доведено раніше недіфференціруемого в цій точці.

Таким чином, безперервність функції - необхідна, але не достатня умова її дифференцируемости.

зауваження: Похідна неперервної функції не обов'язково безперервна. Якщо функція має безперервну похідну на деякому проміжку Х, То функція називається гладкою на цьому проміжку. Якщо ж похідна функція допускає кінцеве число точок розриву, то така функція на даному проміжку називається кусочно гладкої.

 




Властивості нескінченно малих величин | Властивості нескінченно великих величин | Зв'язок між нескінченно малими і нескінченно великими величинами | Другий чудовий межа. | безперервність функції | Якщо функція неперервна в точці і, то існує така околиця точки, в якій. | Точки розриву функції | Властивості функцій, неперервних на відрізку | визначення похідної | Завдання про дотичній |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати