На головну

Теорема і формули Крамера рішення системи п лінійних рівнянь з п змінними (без виведення).

  1. Barebone-системи
  2. C) дається приклад країни, успішно поєднати у своїй правовій системі ознаки романо-германський системи права із загальним правом.
  3. D) тріщинуваті - дві системи тріщин з відстанню між тріщинами більше 1,5
  4. Excel для вирішення прикладних завдань
  5. I. Загальна характеристика СИСТЕМИ ПІДГОТОВКИ СПОРТСМЕНІВ У ЗИМОВОМУ універсальний БОЮ
  6. I. ФІЛОСОФСЬКІ ФОРМУЛИ ДИЯВОЛА
  7. I. Формування системи військової психології в Росії.

Теорема Крамера. нехай - Визначник матриці системи, а - Визначник матриці, одержуваної з матриці заміною -го стовпця стовпцем вільних членів. Тоді, якщо , То система має єдине рішення, яке визначається за формулами:

 , (  ).

Відповідно до зворотною матрицею , де - Матриця, приєднана до матриці . Т. к. Елементи матриці є алгебраїчні доповнення елементів матриці , Транспонованою до , То запишемо рівність  в розгорнутій формі:

.

Враховуючи що , Отримаємо після множення матриць:

, Звідки випливає, що для будь-якого .

На підставі властивості 9 визначників , де - Визначник матриці, отриманої з матриці заміною -го стовпчика стовпцем вільних членів. отже .

рішення системи  лінійних рівнянь з  невідомими

Розглянемо систему  лінійних рівнянь з  невідомими.

Теорема Кронекера-Капеллі. Система лінійних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці цієї системи: .

Для спільних систем лінійних рівнянь вірні такі теореми:

Теорема 1. Якщо ранг матриці спільної системи дорівнює числу змінних, т. Е.  , То система має єдине рішення.

Теорема 2. Якщо ранг матриці спільної системи менше числа змінних, т. Е.  , То система є невизначеною і має безліч рішень.

Визначення.Базовим мінор матриці називається будь-який ненульовий мінор, порядок якого дорівнює рангу матриці.

Визначення. ті  невідомих, коефіцієнти при яких входять до запису базисного мінору, називаються базисними (або основними), решта  невідомих називаються вільними (або неосновними).

Вирішити систему рівнянь в разі  - Це значить висловити базисні змінні через вільні. При цьому маємо спільне рішення системи рівнянь. Якщо все  вільні змінні дорівнюють нулю, то рішення системи називається базисним.

Приклад. Вирішити систему методом Гаусса:

Рішення. Випишемо і перетворимо розширену матрицю системи. Спочатку додамо до елементів третього рядка елементи першого рядка, помножені на -1. А потім елементи другого рядка помножимо на -1 і додамо до елементів третього рядка:

.

Розширена матриця приведена до ступінчастого вигляду.

 . Так як ранг матриці дорівнює 2, а кількість невідомих дорівнює 4, то система має безліч рішень. В якості базисних невідомих візьмемо и  (Т. К. Визначник, складений з їх коефіцієнтів не дорівнює нулю  ), Тоді и  - Вільні невідомі.

Висловимо базисні змінні через вільні.

З другого рядка отриманої матриці висловимо змінну :

, .

З першого рядка висловимо : ,

.

Загальне рішення системи рівнянь: , .




зворотна матриця | Алгоритм обчислення зворотної матриці. | Ранг матриці. Лінійна незалежність рядків матриці | Лінійна незалежність рядків матриці | Вектори. Операції над векторами (додавання, віднімання, множення на число), n-мірний вектор. Поняття про векторному просторі і його базисі. | N-мірний вектор і векторний простір | Розміреність і базис векторного простору | Рішення системи лінійних рівнянь з невідомими | Приклад. Вирішити систему рівнянь за формулами Крамера | Метод Гаусса рішення системи n лінійних рівнянь з п змінними. Поняття про метод Жордана - Гаусса. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати