На головну

Методи рішення алгебраїчних і трансцендентних рівнянь.

  1. Excel для вирішення прикладних завдань
  2. III. Винесення рішення по справі про податкове правопорушення.
  3. III. Завдання з рішеннями
  4. III. ФІЗИЧНІ МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕННЯ
  5. III. Етапи, регламент i методика правядзення дзелавой гульнi
  6. IV. Міністерські (урядові) рішення і декларації.
  7. Part II. Methods and Means / методи і засоби

2.3.1. Наближене рішення рівняння f (x) = 0 шляхом розподілу навпіл (методом бисекции).

Нехай задана безперервна функція f (x) і потрібно знайти корінь рівняння f (x) = 0. Припустимо, що знайдений відрізок [a, b], такий, що f (a) f (b) <0. Тоді згідно з теоремою Больцано-Коші всередині відрізка [a, b] існує точка c, в якій значення функції дорівнює нулю, тобто f (с) = 0, сI (a, b). Ітераційний метод бисекции полягає в побудові послідовності вкладених відрізків. {[An, bn] | [an, bn] I [an-1, bn-1] I [a, b]}, на кінцях яких функція приймає значення різних знаків. Кожен наступний відрізок отримують діленням навпіл попереднього. Процес побудови послідовності відрізків дозволяє знайти нуль функції f (x) (корінь рівняння f (x) = 0) з будь-якої заданої точністю [10].

Наведемо один крок ітерацій. Нехай на (n-1) -му кроці знайдений відрізок [an-1, bn-1] I [a, b], такий, що f (an-1) F (bn-1) <0. Ділимо його навпіл точкою x = (an-1 + bn-1) / 2 і обчислюємо f (x). Якщо f (x) = 0, то x = (an-1 + bn-1) / 2 - корінь рівняння. Якщо f (x) ? 0, то з двох половин відрізка вибираємо ту, на кінцях якої функція має протилежні знаки, так як один з коренів лежить на цій половині. Таким чином,

an = an-1, bn = X, якщо f (x) f (an-1) <0,

an = X, bn = bn-1, Якщо f (x) f (an-1)> 0.

Якщо потрібно знайти корінь з точністю до e, то поділнавпіл триває до тих пір, поки довжина відрізка не стане менше 2 e. Тоді координата середини відрізка і є значення кореня з необхідною точністю e.

Метод бисекции - простий і надійний метод пошуку простого кореня (корінь x = c називають простим коренем диференціюється f (x), якщо f (c) = 0 і f ? (c) ? 0) рівняння f (x) = 0. Він сходиться для будь-яких безперервних функцій f (x), в тому числі і недіфференціруемих. Швидкість збіжності невелика. Для досягнення точності e необхідно зробити N ітерацій, де N »log2((B-a) / e).

Це означає, що для отримання кожних трьох вірних десяткових знаків необхідно зробити близько 10 ітерацій.

Якщо на відрізку [a, b] знаходиться кілька коренів рівняння f (x) = 0, то процес сходиться до одного з них. Метод непридатний для відшукання кратних коренів парного порядку. У разі коренів непарного порядку він менш точний [10].

Використовуючи даний алгоритм легко написати функцію Bisect (f, a, b, eps, k) обчислення кореня рівняння f (x) = 0, використовуючи пакет MathCAD 2000.

f - шукана функція,

a, b - початок і кінець інтервалу [a, b] відповідно,

eps - похибка,

k - кількість ітерацій.




Основні можливості. | Алгебра. | Аналіз. | Чисельні методи. | Завдання до лабораторної роботи №1. | Загальна формула для оцінки головної частини похибки. | Графи обчислювальних процесів. | розподіл | Порядок виконання лабораторної роботи за допомогою методу простих ітерацій. | Порядок виконання лабораторної роботи за допомогою методу Ньютона |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати