На головну

Алгебра.

  1. I. АЛГЕБРА.

Однією з найважливіших завдань, що розглядаються в алгебрі, є знаходження коренів многочленів. Нехай, наприклад, потрібно знайти коріння рівняння третього ступеня  + A x + b = 0, де a і b параметри. Як відомо, є загальні формули для коренів многочленів ступеня не вище четвертої, що містять арифметичні операції і радикали [13]. скористаємося командою Solve (Вирішити) для того, щоб отримати коріння даного рівняння. Команда Solve має два аргументи: перший - рівняння, в якому знак рівності записується за допомогою подвоєного символу =, другий - невідома, щодо якої вирішується рівняння.

Solve [x ^ 3 + a x + b == 0, x]

Відповідь записаний у вигляді укладених у фігурні дужки трьох виразів. Кожен вираз має вигляд {x -> корінь}. Його не слід розуміти в тому сенсі, що x прагне до межі. Символ -> використовується в Математики як знак підстановки! У відповіді міститься символ I - уявна одиниця. Можна спробувати знайти в явному вигляді коріння деяких поліноміальних рівнянь ступеня вище четвертої.

Solve [x ^ 5 + x - 1 == 0, x]

В даному випадку вдалося отримати коріння явно. Звернемося однак до такого прикладу. Нехай потрібно обчислити корені многочлена п'ятого ступеня :

rts = Solve [x ^ 5 + 2x - 1 == 0, x]

Подібний відповідь означає, що формул для коренів даного рівняння не існує. Проте, можна дізнатися чисельне значення всіх п'яти коренів, обчисливши вираз N [rts].

N [rts]

Судячи з отриманого відповіді, що розглядається многочлен має один дійсний корінь, наближено рівний 0.486389, і чотири комплексних. Якщо бажана велика точність, її легко можна отримати, вказавши в якості другого аргументу функції N число цифр у поданні результату

N [rts, 25]

Можна переконатися в правильності обчислення хоча б одного, речового кореня, намалювавши графік многочлена  за допомогою графічної функції Plot

Plot [x ^ 5 + 2x-1, {x, -1, 1}, AxesLabel-> { "x", "y"}, AxesStyle-> Thickness [0.01], PlotStyle -> {Thickness [0.01], Hue [0]}, Background-> GrayLevel [0.95]];

Дійсно, графік розглянутого багаточлена перетинає вісь Ox поблизу від точки x = 0.5.

Повертаючись до вирішення рівнянь, зауважимо, що "Математика '' вміє чисельно вирішувати не тільки поліноміальні, а й трансцендентні рівняння. Правда, якщо заздалегідь відомо, що якийсь рівняння має нескінченно багато коренів, слід вказати хоча б грубе наближення до шуканого кореня. Останнє можна знайти, намалювавши графік відповідної функції. Припустимо, що нам потрібно знайти наібольшійя корінь рівняння 0.1x = Sin [x]. Оскільки 0 є корінь цього рівняння, а при x> 10 коренів, очевидно, немає, намалюємо графік функції 0.1x- Sin [x] на відрізку [0, 10]

Plot [0.1x - Sin [x], {x, 0, 10}, AxesStyle-> Thickness [0.01], PlotStyle -> {Hue [0], Thickness [0.01]}, AxesLabel -> { "x", " y "}, Background-> GrayLevel [0.95], GridLines-> Automatic];

Ми бачимо, що найбільший корінь рівняння наближено дорівнює 8. Уточнимо його значення за допомогою команди FindRoot.

FindRoot [0.1 x-Sin [x] == 0, {x, 8}]

команда Solve для рівнянь з параметрами знаходить спільне рішення, яке, однак, може не мати сенсу при деяких приватних значеннях параметрів. Наприклад, рішення квадратного рівняння a  + Bx + c == 0 даються формулами Вієта:

Solve [a * x ^ 2 + b * x + c == 0, x]

Ці формули для коренів не мають сенсу при a = 0. Аналіз подібних випадків виробляє функція Reduce.

Reduce [a * x ^ 2 + b * x + c == 0, x]

Відповідь містить логічні функції && (логічне І) і ІІ (логічне АБО). Проведений аналіз показує, що при a ? 0, справедливі загальні формули Вієта. При a = 0, b ? 0 рішення одно -  , А при a = 0, b = 0 і c = 0 будь-яке число є корінь рівняння [13].

"Математика" дозволяє також проводити тригонометричні перетворення. Вони засновані на трактуванні тригонометричних функцій як раціональних функцій від  . скористаємося командою Simplify (Спростити) для перетворення наступного тригонометричного виразу

Simplify [6 * Sin [Phi] ^ 2 + 3 * Sin [Phi] * Cos [Phi] -5 * Cos [[Phi] ^ 2]




Введення в MathCAD. | Вхідна мова системи MathCAD. | Формульний редактор. | Можливості символьного процесора (Symbolic) | Приклади програмування. | Вступ. | інструментальна панель | Програмування в середовищі Matlab 5. | Вступ. | Чисельні методи. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати