загрузка...
загрузка...
На головну

Тема 16. Основи теорії ймовірностей

  1. I- Політичні теорії
  2. I. ОСНОВИ МАРКЕТИНГУ
  3. I. Політичні теорії
  4. I. Політичні теорії
  5. I. Політичні теорії
  6. I. Політичні теорії
  7. I. Політичні теорії

Піскунов, гл. XX, упр.1-12,14-27,30-32,34-38. Розберіть вирішення завдань 38-44 з даного посібника.

Завдання 38.Схожість насіння даної рослини становить 90%. Знайти ймовірність того, що з п'яти посіяних насіння зійдуть: а) чотири; б) не менше чотирьох.

Рішення: Скористаємося формулою Бернуллі. якщо проводиться п незалежних випробувань, при кожному з яких ймовірність здійснення подій А постійна і дорівнює р, А ймовірність протилежної події q = 1-р, то ймовірність Рп(Т) того, що при цьому подія А здійснюється рівно m раз, обчислюється за формулою:

 , (1)

 - Є число поєднань з п елементів по т.

а) За умовою завдання ймовірність схожості насіння р= 0,9; тоді q= 0,1; в даному випадку n= 5 і т = 4. Підставляючи ці дані в формулу Бернуллі (1), отримаємо

.

б) Шукане подія А полягає в тому, що з п'яти посіяних насіння зійдуть або чотири, або п'ять. Таким чином,  Перший доданок вже знайдено. Для обчислення другого знову застосовуємо формулу (1):

.

отже, р (А) =0,328 +0,591 = 0,919.

Завдання 39.Імовірність появи події А в кожному з 625 випробувань дорівнює 0,64. Знайти ймовірність того, що подія А в цих випробуваннях з'явиться рівно 415 разів.

Рішення: Якщо число випробувань п велике, то застосування формули Бернуллі призводить до громіздким обчисленням. Використання цієї формули стає практично неможливим. У таких випадках застосовують наближену формулу, яка виражає суть локальної теореми Лапласа.

Якщо ймовірність настання події А в кожному з  незалежних випробувань постійна і дорівнює р (р відмінно від нуля і одиниці), а число п досить велике, то ймовірність Рп(Т) того, що в цих випробуваннях подія А настане т раз (байдуже, в якій послідовності) обчислюється наближено за формулою

 (2)

Є готові таблиці значень функції  (Див. Табл. 1 додатку). для х> 5 зчитають, що

Так як функція ? (х) -парна, то ? (х)=? (х). За умовою завдання n= 625, m= 415, р= 0,64. знаходимо q= 1-0,64 = 0,36. визначаємо значення x:

По таблиці 1 знаходимо, що ? (1,25)= 0,1826. Підставивши це значення в (2), отримаємо

Завдання 40.Серед насіння жита 0,04% бур'янів. Яка ймовірність при випадковому відборі 5000 насінин виявити 5 насіння бур'янів?

Рішення: Застосування асимптотической формули (2) для випадку, коли ймовірність р близька до нуля, призводить до значного відхилення від точного значення Рп(Т). При малих значеннях р (І при малих значеннях q) застосовують асимптотичну формулу Пуассона.

Якщо ймовірність появи події А в кожному з n незалежних випробувань мала, а число випробувань п досить велике, то ймовірність того, що подія А настане рівно m раз, обчислюється наближено за формулою

 (3)

Формулу (3) застосовують в тих випадках, коли

При цьому чим більше число п і менше число р, тим точніше результат за цією формулою. За умовою завдання n = 5000, m = 5, р = 0,0004. Тоді ? = 5000 · 0,0004 = 2. Застосовуючи (3), отримаємо

Завдання 41.Ймовірність влучення в ціль при окремому пострілі дорівнює 0,6. Знайти ймовірність того, що число влучень при 600 пострілах буде укладено в межах від 330 до 375.

Рішення: Формули Бернуллі, Пуассона, асимптотична формула (2), що виражає суть локальної теореми Лапласа, дозволяють знайти ймовірність появи події А рівно m раз при п незалежних випробуваннях. На практиці часто потрібно визначити ймовірність того, що подія А настане не менше т1 раз і не більше т2 раз, т. е. число т визначено нерівностями  У таких випадках застосовують інтегральну теорему Лапласа.

Якщо ймовірність настання події А в кожному з п незалежних випробувань постійна і дорівнює р (р відмінна від нуля і одиниці), а число п досить велике, то ймовірність того, що подія А в таких випробуваннях настане не менше т1 раз і не більше т2 раз, обчислюється наближено за формулою

 (4)

функція ф (х) являйся монотонно зростаючою. При необмеженому зростанні х функція ф (х) прагне до 0,5. Якщо скористатися готовими значеннями функції Лапласа, то формулу (4) можна записати так:

 (5)

Є таблиці значень функції  (Див. Табл. 2 Додатка). Функція ? (х) називається функцією Лапласа. Ця функція є непарною, т. Е. Ф (-х) = -ф (х). Тому таблиця значень дається тільки для позитивних чисел. За умовою n = 600, p= 0,6, m1= 330, m2= 375. знаходимо

За таб. 2 знаходимо Ф(1,25) = 0,3944; Ф(-2,5) = -Ф(2,5) = = - 0,4938. Підставивши ці значення в (5), отримаємо шукану ймовірність:

Завдання 42.Заданий закон розподілу випадкової величини X (в першому рядку таблиці дані можливі значення величини X, а у другому рядку вказані ймовірності р цих можливих значень).

X
P  0.2  0.1  0.4  0.3

Знайти: 1) математичне очікування  ; 2)  ; 3) середнє квадратичне відхилення .

Рішення: 1) Математичне сподівання  обчислимо за формулою:  . Тоді маємо:

2) Для обчислення дисперсії  скористаємося формулою:

.

спочатку обчислимо :  . Тоді отримаємо:

3) Середнє квадратичне відхилення :  . Т. е. .

Завдання 43.Випадкова величина X розподілена за нормальним законом. Математичне очікування м (Х) =5; дисперсія D (X) = 0,64. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування X прийме значення в інтервалі (4,7).

Рішення: Якщо випадкова величина X задана диференціальною функцією f (x), то ймовірність того, що X прийме значення, що належить інтервалу (?, ?), обчислюється за формулою

якщо величина X розподілена за нормальним законом, то

 (6)

де а = м (Х) и  . За умовою завдання а = 5, , ?= 4 і ?= 7. Підставивши ці дані в (6), отримаємо:

Завдання 44.Вважається, що відхилення довжини виготовляються деталей від стандарту є випадковою величиною, розподіленою за нормальним законом. Стандартна довжина (математичне очікування) а = 40 см, середнє відхилення ? = 0,4 см. Знайти ймовірність того, що відхилення довжини від стандартної складе по абсолютній величині не більше 0,6 см.

Рішення: якщо X - Довжина деталі, то за умовою задачі ця величина повинна бути в інтервалі (А-?, А + ?), де а = 40 і ? = 0,6. Підставивши в формулу (6) ?= А - ? і ?= А + ?, отримаємо

 (7)

Таким чином, підставляючи в (7) наявні дані, отримаємо

Отже, ймовірність того, що виготовляються деталі по довжині будуть в межах від 39,4 до 40,6 см, становить 0,8864.





Тема 5. Введення в аналіз | Тема 6 Похідна і диференціал | Тема 7. Дослідження поведінки функції | Тема 8. Невизначений інтеграл | Тема 9. Визначений інтеграл | Тема 10. Програми певного інтеграла | Тема 11. Функції декількох змінних | Тема 12. Кратні інтеграли. Криволінійний інтеграл. | Тема 13. Ряди та їх застосування. | Тема 14. Диференціальні рівняння першого порядку |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати