На головну

Тема 14. Диференціальні рівняння першого порядку

  1. II ЗАГАЛЬНІ ПОЧАТКУ ПУБЛІЧНО-ПРАВОВОГО ПОРЯДКУ
  2. IV. Теплові ефекти хімічних реакцій. Термохимические рівняння і розрахунки
  3. VIII. Іонні рівняння реакцій
  4. Адаптивна поліноміальна модель першого порядку
  5. Активні фільтри високого порядку
  6. Аналіз активного ланки фільтра нижніх частот 2-го порядку
  7. Аналіз загального рівняння площини і побудова площин

Піскунов, гл. X111, §1-4, упр. 1 - 5, 9-23, 26,27, 29, 33, 35; §5, упр. 39-44, 46; § 7, 8, упр. 57-68. Розберіть вирішення завдань 32, 33 з даного посібника.

Завдання 32.Знайти спільне рішення рівняння .

Рішення: Дане рівняння є однорідним, так як коефіцієнти при и  є однорідні функції одного і того ж вимірювання (другого) щодо змінних  . застосовуємо підстановку  , де  - Деяка функція аргументу .

якщо  , То диференціал  , І дане рівняння набуде вигляду

.

скоротивши на  , Будемо мати:

;

;

;

;

.

Ми отримали рівняння з розділеними змінними щодо и  . Інтегруючи, знаходимо спільне рішення цього рівняння:

; ;

; .

Потенціюючи, знаходимо  , або  . З введеної підстановки слід, що  . отже,  або  - Спільне рішення даного рівняння.

Завдання 33.Знайти спільне рішення рівняння .

Рішення: Дане рівняння є лінійним, так як воно містить шукану функцію  і її похідну  в першого ступеня і не містить їх творів.

застосовуємо підстановку  , де и  - Деякі невідомі функції аргументу  . якщо  , то  і дане рівняння набуде вигляду

,

або

 . (1)

Так як шукана функція  представлена ??у вигляді добутку двох інших невідомих функцій, то одну з них можна вибрати довільно. виберемо функцію  так, щоб вираз, що стоїть в круглих дужках лівої частини рівності (1), зверталося в нуль, тобто виберемо функцію  так, щоб мало місце рівність

 (2)

При такому виборі функції  рівняння (1) набуде вигляду

 . (3)

Рівняння (2) є рівняння із перемінними щодо и  . Вирішимо це рівняння:

; ; ;

; , .

Щоб рівність (2) мало місце, досить знайти одне будь - яке приватне рішення, яке задовольняє цього рівняння. Тому для простоти при інтегруванні цього рівняння знаходимо то приватне рішення, яке відповідає значенню довільної сталої С = 0. Підставивши в (3) знайдене вираз для  , Отримаємо: ; ; ;  . Інтегруючи, отримуємо  . тоді  - Спільне рішення даного рівняння.




Тема 3. Елементи аналітичної геометрії в просторі | Тема 4. Елементи лінійної алгебри | Тема 5. Введення в аналіз | Тема 6 Похідна і диференціал | Тема 7. Дослідження поведінки функції | Тема 8. Невизначений інтеграл | Тема 9. Визначений інтеграл | Тема 10. Програми певного інтеграла | Тема 11. Функції декількох змінних | Тема 12. Кратні інтеграли. Криволінійний інтеграл. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати