На головну

Тема 8. Невизначений інтеграл

  1. IV. Інтегральний ознака Коші
  2. Вираз для інтеграла
  3. Обчислення лінійного інтеграла
  4. Обчислення площ плоских фігур за допомогою визначеного інтеграла. Приклади.
  5. Обчислення поверхневих інтегралів 1-го роду
  6. ГЕОМЕТРИЧНІ ДОДАТКИ ІНТЕГРАЛА
  7. Глава 12. Невизначений інтеграл

Піскунов, гл. X, § 1-3, упр. 1-7; § 4, упр. 8-50, 59-68, 70-79, 84-86, 94-100; § 5, упр. 102-111, 115, 118, 123, 125; § 6, упр. 127-137, 140, 142; § 7-9, упр. 152-160, 163, 164, 167; § 11, упр. 170-172, 174, 176, 178, 180; § 14, упр. 196-206, 208-214. Розберіть рішення задачі 21.

Завдання 21.Знайти невизначені інтеграли:

а)  б)  ; в)  г)  ; д)  е)  ; ж)  ; з)  і)  ; к)  ; л) .

Рішення: При знаходженні невизначених інтегралів функцій використовують такі властивості:

1) ,

2)

і таблицю інтегралів основних елементарних функцій:


1. ;

2. ;


3. ;

4. ;


5. ;

6. ;


7. ;

8. ;


9. ;

9 '.


10. ;

10 '. ;


11. ;

11 '. ;


12. ;

13. ;


14. ;

15. ;


16. .

а) підінтегральна вираз являє собою неправильну раціональну дріб, так як ступінь многочлена, що стоїть в чисельнику, більше ступеня многочлена, що стоїть в знаменнику. Тому виділимо цілу частину дробу (розділимо чисельник на знаменник із залишком).

Тоді цю дріб можна записати у вигляді

Правильна раціональний дріб може бути представлена ??у вигляді суми найпростіших дробів чотирьох типів: 1)  2)  де m - ціле число, більше одиниці; 3)  де  т. е. квадратний тричлен  не має дійсних коренів; 4)  де n> 1, n - ціле число і квадратний тричлен  не має дійсних коренів.

Випишемо знаменник дробу і розкладемо його на множники

Знаменник являє собою твір лінійних множників в першого ступеня, отже, дріб можна розкласти на суму найпростіших дробів першого типу.

Прирівнюємо коефіцієнти при однакових ступенях многочленів, що стоять в чисельнику дробів

Вирішуючи систему, отримаємо

Значить, подинтегральная дріб представиться у вигляді

отже,

б) підінтегральна вираз являє собою правильну раціональну дріб. Розкладемо знаменник на множники:

Випишемо подинтегральную дріб і розкладемо її на суму найпростіших дробів першого і другого типу, т. К. Знаменник дробу являє собою твір лінійних множників, один з яких кратний.

= =

= .

Прирівняємо коефіцієнти многочленів, що стоять в чисельнику.

Вирішуючи дану систему, отримаємо:  маємо:

.

Таким чином, даний інтеграл можна записати у вигляді:

=

в) підінтегральна вираз являє собою правильну раціональну дріб. Випишемо подинтегральную дріб і розкладемо її на суму найпростіших дробів першого і третього типу, т. К. Знаменник являє собою твір лінійного множника в першого ступеня і квадратного тричлена  , Що не має дійсних коренів, також в першого ступеня.

Вирішуючи дану систему, отримаємо:  маємо

г) підінтегральна вираз являє собою правильну раціональну дріб. Випишемо подинтегральную дріб і розкладемо її на суму найпростіших дробів третього і четвертого типу, т. К. Знаменник являє собою квадратний тричлен  , Що не має дійсних коренів, в другому ступені.

Вирішуючи дану систему, отримаємо:  маємо

 тоді

Окремо знайдемо останній інтеграл. покладемо  тоді  отримаємо

остаточно отримаємо

д) Зробимо заміну ,

=

е) Інтегруємо частинами по формулі: .

.

ж) Зробимо заміну  отримаємо

з) Зробимо заміну

 отримаємо

Останній інтеграл є інтеграл від раціонального дробу. Випишемо цю дріб і розкладемо її на суму найпростіших.

Вирішуючи систему, отримаємо

тоді

отже,

і)

к)

 л)




МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ | ЗАГАЛЬНІ МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ | Приклади розв'язання задач | Тема 2. Основи векторної алгебри | Тема 3. Елементи аналітичної геометрії в просторі | Тема 4. Елементи лінійної алгебри | Тема 5. Введення в аналіз | Тема 6 Похідна і диференціал | Тема 10. Програми певного інтеграла | Тема 11. Функції декількох змінних |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати