Головна

Тема 4. Елементи лінійної алгебри

  1. Elements - електротехнічні елементи
  2. II. ЕЛЕМЕНТИ АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ.
  3. III.4.3) Види і елементи провини.
  4. Power Electronics - елементи силової електроніки
  5. XI. Пристосування ТА ІНШІ ЕЛЕМЕНТИ, властивості. Здібностей та обдарувань АРТИСТА
  6. Автогенераторного логічні елементи
  7. Активні і пасивні елементи електричних ланцюгів. Закон Ома

Минорский, № 586, 592, 611, 615, 619, 622. Розберіть рішення задач 8 і 9 з даного посібника.

завдання 8. Вирішити систему лінійних рівнянь:

а) Методом Гауса; б) за допомогою визначників; в) за допомогою оберненої матриці.

Рішення. а) Виключимо з останніх двох рівнянь х1. Для цього помножимо перше рівняння на (-5) і результати додамо відповідно до другого рівняння, потім обидві частини першого рівняння помножимо на (-3) і результати додамо до третього рівняння. В результаті отримаємо систему, еквівалентну даній:

Розділивши обидві частини другого рівняння системи (1) на 2, отримаємо систему

Тепер виключимо з третього рівняння системи (2) змінну х2. Для цього обидві частини другого рівняння цієї системи помножимо на (-7) і результати додамо до третього рівняння. В результаті отримаємо систему

Звідки x3 = 3, х2 = 1 і х1 = -2. Приведення даної системи до східчастого увазі (3) практично зручніше, якщо використовувати перетворення розширеної матриці даної системи, т. Е. Матриці, складеної з коефіцієнтів при невідомих і вільних членів. Для зручності стовпець вільних членів цієї матриці відділимо вертикальною лінією. Розширена матриця даної системи має вигляд

.

Помножимо елементи першого рядка матриці на (-5) і результати додамо до елементів другого рядка, потім помножимо елементи першого рядка на (-3) і результати додамо до елементів третього рядка. отримаємо матрицю

Розділивши елементи другого рядка на 2, отримаємо

Елементи другого рядка помножимо на (-7) і результати додамо до елементів третього рядка. Отримаємо матрицю,

яка дозволяє дану систему привести до виду (3) і потім вирішити її.

б) Складемо і обчислимо такі визначники системи.

визначник  , Складений з коефіцієнтів при невідомих:

аналогічно обчислюємо  , Отриманий з  заміною першого стовпчика стовпчиком вільних коефіцієнтів: , и .

Тоді рішення системи знайдемо за формулами: , , .

в) Введемо позначення: , и  . Тоді систему рівнянь можна представити у вигляді матричного рівняння  , Яке вирішимо за формулою:  . знайдемо  за наступним алгоритмом.

1) .

2) обчислимо алгебраїчні доповнення елементів матриці  за формулою:  , де  - Визначник, отриманий з  шляхом викреслювання  -ої рядки і  -го стовпчика.

 . Аналогічно обчислюємо всі інші алгебраїчні доповнення.

, , , , , , , .

3) Із знайдених доповнень складемо матрицю:  , отримуємо .

4) Зворотну матрицю отримуємо за формулою:  , Т. Е. .

5) Виконаємо перевірку, покажемо, що  , де  - одинична матриця.

.

Тепер знайдемо рішення матричного рівняння  . Тоді рішення системи: .

завдання 9. Вирішити методом Гаусса систему рівнянь

Рішення: Складемо розширену матрицю системи:

Помноживши елементи першого рядка послідовно на -2, -4 і -5. Отримані результати додамо відповідно до елементів другої, третьої і четвертої рядків. отримаємо матрицю

Елементи другого рядка помножимо на 6 і результати додамо до елементів третього рядка, потім елементи другого рядка додамо до елементів четвертого рядка. отримаємо матрицю

Елементи третього рядка розділимо на -2 і потім елементи четвертого рядка додамо до елементів третього рядка. отримаємо матрицю

Тепер елементи третього рядка помножимо на 13 і результати додамо до елементів четвертого рядка. отримаємо матрицю

Отже, дану систему можна записати так:

Звідки х4 = 0, х3 = 2, х2 = -1 І х1= 3.




МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ | ЗАГАЛЬНІ МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ | Приклади розв'язання задач | Тема 2. Основи векторної алгебри | Тема 6 Похідна і диференціал | Тема 7. Дослідження поведінки функції | Тема 8. Невизначений інтеграл | Тема 9. Визначений інтеграл | Тема 10. Програми певного інтеграла | Тема 11. Функції декількох змінних |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати