Головна |
завдання 1.Дано координати вершин трикутника АВС: а (4; 3), в (16; -6), з (20; 16). Знайти: 1) довжину сторони АВ; 2) рівняння сторін АВ і ВС і їх кутові коефіцієнти; 3) кут В в радіанах з точністю до двох знаків; 4) рівняння висоти СD і її довжину; 5) рівняння медіани AE і координати точки К перетину цієї медіани з висотою CD; 6) рівняння прямої, що проходить через точку К паралельно стороні АВ; 7) координати точки М, розташованої симетрично точці А відносно прямої СD.
Рішення:
1. Відстань d між точками A (x1, y1) І B (x2, y2) Визначається за формулою
(1)
Застосовуючи (1), знаходимо довжину сторони АВ:
2. Рівняння прямої, що проходить через точки A (x1, y1) І B (x2, y2) має вигляд
(2)
Підставляючи в (2) координати точок А і В, отримаємо рівняння сторони АВ:
Вирішивши останнє рівняння відносно у, знаходимо рівняння сторони АВ у вигляді рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:
звідки
Підставивши в (2) координати точок В і С, отримаємо рівняння прямої ВС:
або
звідки
3. Відомо, що тангенс кута між двома прямими, кутові коефіцієнти яких відповідно рівні и обчислюється за формулою
(3)
Шуканий кут В утворений прямими АВ і ВС, кутові коефіцієнти яких знайдені: Застосовуючи (3), отримаємо
або радий.
4. Рівняння прямої, що проходить через дану точку в заданому напрямку, має вигляд
(4)
Висота CD перпендикулярна стороні АВ. Щоб знайти кутовий коефіцієнт висоти CD, скористаємося умовою перпендикулярності прямих. Так як то Підставивши в (4) координати точки С і знайдений кутовий коефіцієнт висоти, отримаємо
Щоб знайти довжину висоти CD, визначимо спочатку координати точки D- точки перетину прямих АВ і CD. Вирішуючи спільно систему:
знаходимо т. е. D (8; 0).
За формулою (1) знаходимо довжину висоти CD:
5. Щоб знайти рівняння медіани АЕ, визначимо спочатку координати точки Е, яка є серединою сторони ВС, застосовуючи формули розподілу відрізка на дві рівні частини:
(5)
отже,
Підставивши в (2) координати точок А і Е, знаходимо рівняння медіани:
Щоб знайти координати точки перетину висоти CD і медіани АЕ, вирішимо спільно систему рівнянь
знаходимо .
6. Так як шукана пряма паралельна стороні АВ, то її кутовий коефіцієнт дорівнюватиме кутовому коефіцієнту прямої АВ. Підставивши в (4) координати знайденої точки К і кутовий коефіцієнт отримаємо
3x + 4y - 49 = 0 (KF)
7. Так як пряма АВ перпендикулярна прямий CD, то шукана точка М, розташована симетрично точці А відносно прямої CD, лежить на прямій АВ. Крім того, точка D є серединою відрізка AM. Застосовуючи формули (5), знаходимо координати шуканої точки М:
Трикутник ABC, висота CD, медіана АЕ, пряма KF і точка М побудовані в системі координат хОу на рис. 1.
Завдання 2.Скласти рівняння геометричного місця точок, відношення відстаней яких до даної точки а (4; 0) і до даної прямої х = 1 дорівнює 2.
Рішення:
В системі координат хОу побудуємо точку а (4; 0) і пряму х = 1. Нехай м (х; у) - довільна точка шуканого геометричного місця точок. Опустимо перпендикуляр MB на дану пряму x = 1 і визначимо координати точки В. Так як точка В лежить на заданій прямій, то її абсциса дорівнює 1. Ордината точки В дорівнює ординате точки М. Отже, в (1; у) (рис. 2).
За умовою завдання | МА |: | МВ | = 2. Відстані | МА | і | MB | знаходимо за формулою (1) завдання 1:
Звівши в квадрат ліву і праву частини, отримаємо
або
Отримане рівняння являє собою гіперболу, у якій дійсна піввісь а = 2, а уявна -
Визначимо фокуси гіперболи. Для гіперболи виконується рівність отже, и - Фокуси гіперболи. Як видно, задана точка а (4; 0) є правим фокусом гіперболи.
Визначимо ексцентриситет отриманої гіперболи:
Рівняння асимптот гіперболи мають вигляд и . отже, або и - Асимптоти гіперболи. Перш ніж побудувати гіперболу, будуємо її асимптоти.
завдання 3. Скласти рівняння геометричного місця точок, рівновіддалених від точки а (4; 3) і прямий у = 1. Отримане рівняння привести до найпростішого виду.
Рішення: Нехай м (х; у) - одна з точок шуканого геометричного місця точок. Опустимо з точки М перпендикуляр MB на дану пряму у = 1 (рис. 3). Визначимо координати точки В. Очевидно, що абсциса точки В дорівнює абсциссе точки М, а ордината точки В дорівнює 1, т. Е. В (х; 1). За умовою завдання | МА | = | МВ |. Отже, для будь-якої точки м (х; у), що належить шуканого геометричного місця точок, справедливо рівність:
або
Отримане рівняння визначає параболу з вершиною в точці Щоб рівняння параболи привести до найпростішого виду, між іншим і y + 2 = Y тоді рівняння параболи набирає вигляду:
Щоб побудувати знайдену криву, перенесемо початок координат в точку О '(4; 2), побудуємо нову систему координат осі якої відповідно паралельні осях Ox і Oy і потім в цій новій системі побудуємо параболу (*) (рис. 3).
завдання 4.Скласти канонічне рівняння гіперболи, фокуси якої розташовані на осі абсцис, якщо вона проходить через точки A (-8; 12) і B (12; 8 ). Знайти всі точки перетину цієї гіперболи з окружністю з центром на початку координат, якщо ця окружність проходить через фокуси гіперболи.
Рішення: Канонічне рівняння гіперболи має вигляд
(1)
За умовою точки А и В лежать на гіперболи. Отже, координати цих точок задовольняють рівняння (1). Підставивши в рівняння (1) замість поточних координат х и у координати точок А и В, отримаємо систему двох рівнянь щодо невідомих а и b:
Вирішуючи систему, отримуємо: Таким чином, рівняння шуканої гіперболи Визначимо фокуси цієї гіперболи. маємо тоді .
Рівняння кола, що проходить через початок координат, має вигляд x2 + y2 = R2
де R- радіус кола. Так як за умовою окружність проходить через фокуси гіперболи, то R = з = 8. Отже, x2 + y2 = 64 - рівняння кола. Щоб знайти точки перетину гіперболи з окружністю, вирішимо систему рівнянь
В результаті отримаємо 4 точки перетину: (Рис. 4).
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ | Тема 3. Елементи аналітичної геометрії в просторі | Тема 4. Елементи лінійної алгебри | Тема 5. Введення в аналіз | Тема 6 Похідна і диференціал | Тема 7. Дослідження поведінки функції | Тема 8. Невизначений інтеграл | Тема 9. Визначений інтеграл | Тема 10. Програми певного інтеграла | Тема 11. Функції декількох змінних |