загрузка...
загрузка...
На головну

Приклади розв'язання задач

  1. Amp; Завдання №3 Імпорт таблиць
  2. Amp; Завдання №4 Створення таблиці за допомогою Конструктора.
  3. Amp; Завдання №5 Створити зв'язку встановленого типу. Друк Схеми БДБазаПочтаФамілія.
  4. Amp; Завдання №6 Заповнення таблиць БДБазаПочтаФамілія.
  5. Excel для вирішення прикладних завдань
  6. I. Завдання семіотики і передумови, необхідні для її розробки
  7. I. До чого прагне педагогіка, якою вона має бути і в чому її завдання?

завдання 1.Дано координати вершин трикутника АВС: а (4; 3), в (16; -6), з (20; 16). Знайти: 1) довжину сторони АВ; 2) рівняння сторін АВ і ВС і їх кутові коефіцієнти; 3) кут В в радіанах з точністю до двох знаків; 4) рівняння висоти СD і її довжину; 5) рівняння медіани AE і координати точки К перетину цієї медіани з висотою CD; 6) рівняння прямої, що проходить через точку К паралельно стороні АВ; 7) координати точки М, розташованої симетрично точці А відносно прямої СD.

Рішення:

1. Відстань d між точками A (x1, y1) І B (x2, y2) Визначається за формулою

 (1)

Застосовуючи (1), знаходимо довжину сторони АВ:

2. Рівняння прямої, що проходить через точки A (x1, y1) І B (x2, y2) має вигляд

 (2)

Підставляючи в (2) координати точок А і В, отримаємо рівняння сторони АВ:

Вирішивши останнє рівняння відносно у, знаходимо рівняння сторони АВ у вигляді рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:

 звідки

Підставивши в (2) координати точок В і С, отримаємо рівняння прямої ВС:

 або

звідки

3. Відомо, що тангенс кута  між двома прямими, кутові коефіцієнти яких відповідно рівні и  обчислюється за формулою

 (3)

Шуканий кут В утворений прямими АВ і ВС, кутові коефіцієнти яких знайдені:  Застосовуючи (3), отримаємо

 або  радий.

4. Рівняння прямої, що проходить через дану точку в заданому напрямку, має вигляд

 (4)

Висота CD перпендикулярна стороні АВ. Щоб знайти кутовий коефіцієнт висоти CD, скористаємося умовою перпендикулярності прямих. Так як  то  Підставивши в (4) координати точки С і знайдений кутовий коефіцієнт висоти, отримаємо

Щоб знайти довжину висоти CD, визначимо спочатку координати точки D- точки перетину прямих АВ і CD. Вирішуючи спільно систему:

 знаходимо  т. е. D (8; 0).

За формулою (1) знаходимо довжину висоти CD:

5. Щоб знайти рівняння медіани АЕ, визначимо спочатку координати точки Е, яка є серединою сторони ВС, застосовуючи формули розподілу відрізка на дві рівні частини:

 (5)

отже,

Підставивши в (2) координати точок А і Е, знаходимо рівняння медіани:

Щоб знайти координати точки перетину висоти CD і медіани АЕ, вирішимо спільно систему рівнянь

 знаходимо .

6. Так як шукана пряма паралельна стороні АВ, то її кутовий коефіцієнт дорівнюватиме кутовому коефіцієнту прямої АВ. Підставивши в (4) координати знайденої точки К і кутовий коефіцієнт  отримаємо

3x + 4y - 49 = 0 (KF)

7. Так як пряма АВ перпендикулярна прямий CD, то шукана точка М, розташована симетрично точці А відносно прямої CD, лежить на прямій АВ. Крім того, точка D є серединою відрізка AM. Застосовуючи формули (5), знаходимо координати шуканої точки М:

Трикутник ABC, висота CD, медіана АЕ, пряма KF і точка М побудовані в системі координат хОу на рис. 1.

Завдання 2.Скласти рівняння геометричного місця точок, відношення відстаней яких до даної точки а (4; 0) і до даної прямої х = 1 дорівнює 2.

Рішення:

В системі координат хОу побудуємо точку а (4; 0) і пряму х = 1. Нехай м (х; у) - довільна точка шуканого геометричного місця точок. Опустимо перпендикуляр MB на дану пряму x = 1 і визначимо координати точки В. Так як точка В лежить на заданій прямій, то її абсциса дорівнює 1. Ордината точки В дорівнює ординате точки М. Отже, в (1; у) (рис. 2 ).

За умовою завдання | МА |: | МВ | = 2. Відстані | МА | і | MB | знаходимо за формулою (1) завдання 1:

Звівши в квадрат ліву і праву частини, отримаємо

 або

Отримане рівняння являє собою гіперболу, у якій дійсна піввісь а = 2, а уявна -

Визначимо фокуси гіперболи. Для гіперболи виконується рівність  отже, и  - Фокуси гіперболи. Як видно, задана точка а (4; 0) є правим фокусом гіперболи.

Визначимо ексцентриситет отриманої гіперболи:

Рівняння асимптот гіперболи мають вигляд и  . отже,  або и  - Асимптоти гіперболи. Перш ніж побудувати гіперболу, будуємо її асимптоти.

завдання 3. Скласти рівняння геометричного місця точок, рівновіддалених від точки а (4; 3) і прямий у = 1. Отримане рівняння привести до найпростішого виду.

Рішення: Нехай м (х; у) - одна з точок шуканого геометричного місця точок. Опустимо з точки М перпендикуляр MB на дану пряму у = 1 (рис. 3). Визначимо координати точки В. Очевидно, що абсциса точки В дорівнює абсциссе точки М, а ордината точки В дорівнює 1, т. Е. В (х; 1). За умовою завдання | МА | = | МВ |. Отже, для будь-якої точки м (х; у), що належить шуканого геометричного місця точок, справедливо рівність:

 або

Отримане рівняння визначає параболу з вершиною в точці  Щоб рівняння параболи привести до найпростішого виду, між іншим  і y + 2 = Y тоді рівняння параболи набирає вигляду:

Щоб побудувати знайдену криву, перенесемо початок координат в точку О '(4; 2), побудуємо нову систему координат  осі якої відповідно паралельні осях Ox і Oy і потім в цій новій системі побудуємо параболу (*) (рис. 3).

завдання 4.Скласти канонічне рівняння гіперболи, фокуси якої розташовані на осі абсцис, якщо вона проходить через точки A (-8; 12) і B (12; 8  ). Знайти всі точки перетину цієї гіперболи з окружністю з центром на початку координат, якщо ця окружність проходить через фокуси гіперболи.

Рішення: Канонічне рівняння гіперболи має вигляд

 (1)

За умовою точки А и В лежать на гіперболи. Отже, координати цих точок задовольняють рівняння (1). Підставивши в рівняння (1) замість поточних координат х и у координати точок А и В, отримаємо систему двох рівнянь щодо невідомих а и b:

Вирішуючи систему, отримуємо:  Таким чином, рівняння шуканої гіперболи  Визначимо фокуси цієї гіперболи. маємо  тоді .

Рівняння кола, що проходить через початок координат, має вигляд x2 + y2 = R2

 де R- радіус кола. Так як за умовою окружність проходить через фокуси гіперболи, то R = з = 8. Отже, x2 + y2 = 64 - рівняння кола. Щоб знайти точки перетину гіперболи з окружністю, вирішимо систему рівнянь

В результаті отримаємо 4 точки перетину:  (Рис. 4).




МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ | Тема 3. Елементи аналітичної геометрії в просторі | Тема 4. Елементи лінійної алгебри | Тема 5. Введення в аналіз | Тема 6 Похідна і диференціал | Тема 7. Дослідження поведінки функції | Тема 8. Невизначений інтеграл | Тема 9. Визначений інтеграл | Тема 10. Програми певного інтеграла | Тема 11. Функції декількох змінних |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати