Головна

Лінійна залежність і лінійна незалежність системи векторів

  1. Barebone-системи
  2. C) дається приклад країни, успішно поєднати у своїй правовій системі ознаки романо-германський системи права із загальним правом.
  3. D) тріщинуваті - дві системи тріщин з відстанню між тріщинами більше 1,5
  4. I. Загальна характеристика СИСТЕМИ ПІДГОТОВКИ СПОРТСМЕНІВ У ЗИМОВОМУ універсальний БОЮ
  5. I. Формування системи військової психології в Росії.
  6. II. ЕЛЕКТРИЧНИЙ ДИПОЛЬ. Дипольниммоментом СИСТЕМИ ЕЛЕКТРИЧНИХ ЗАРЯДІВ
  7. III. Схеми вивчення гри як системи взаємозв'язків і взаємовідносини

вектор  називається лінійною комбінацією векторів  , Якщо знайдуться справжні числа  такі, що:

.

Система векторів називається лінійно залежною, Якщо хоча б один з векторів системи є лінійною комбінацією інших.

Якщо жоден з векторів системи не представляється як лінійна комбінація інших, то система називається лінійно незалежної.

Лінійна залежність векторів в  означає їх коллінеарність (паралельність). Будь-яка пара неколінеарних векторів є лінійно незалежною.

Лінійна залежність трьох векторів в  означає їх компланарність (приналежність одній площині).

Теорема 1.система векторів  - Лінійно незалежна в  тоді і тільки тоді, коли рівняння:

має тільки тривіальне рішення, тобто  . Система лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли дане рівняння має не тривіальне рішення, тобто .

Теорема 2. (Критерій лінійної залежності (незалежності) системи з двох векторів).

два вектора и  лінійно залежні (лінійно незалежні) тоді і тільки тоді, коли всі їх відповідні координати пропорційні (непропорційні).

приклад 1. З'ясувати, чи є лінійно залежними вектори и .

Рішення. Визначимо, пропорційні чи координати векторів:

 - Вірно.

Отже, вектори и  лінійно залежні. n

Теорема 3. (Критерій лінійної залежності (незалежності) системи з  векторів в просторі  ).

системи векторів  - Лінійно залежна (лінійно незалежна) в  тоді і тільки тоді, коли визначник, складений з координат цих векторів, дорівнює нулю (відмінний від нуля).

приклад 2. Визначити, чи є лінійно залежними вектора

, и ?

Рішення. Складемо і обчислимо визначник з координат векторів:

Оскільки  , То вектори , и  - Лінійно незалежні. n

теорема 4. будь-які  векторів лінійно залежні в просторі .

Зауваження. Залишається розглянути ситуацію, коли кількість векторів в системі більше двох, але менше  (Наприклад, три вектора в просторі  ). Отже, з'ясуємо лінійну залежність (незалежність) системи в просторі  , де  . Розглянемо матрицю  , Складену з координат цих векторів, і обчислимо її ранг. З урахуванням теореми 5, робимо висновок: якщо  , То система лінійно незалежна, а якщо  , То система - Лінійно залежна.

 




Лінійна алгебра | Частина 2 | властивості норми | Векторний добуток векторів | Властивості векторного твори | Властивості змішаного твори векторів | Завдання для самостійної роботи | Комплексні числа | Завдання для самостійної роботи | геометрії |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати