загрузка...
загрузка...
На головну

Другий критерій еквівалентності.

  1. Quot; Другий позитивізм "Маха і Авенаріус
  2. V1: 05 {{5}} 006 Росія в другій половині XIX ст. - Початку XX ст.
  3. XI.3 16. Зовнішня політика РФ другої половини 1990-х років.
  4. Авторитарні й тоталітарні держави другої половини XX - початку XXI ст. 1 сторінка
  5. Авторитарні й тоталітарні держави другої половини XX - початку XXI ст. 2 сторінка
  6. Авторитарні й тоталітарні держави другої половини XX - початку XXI ст. 3 сторінка
  7. Авторитарні й тоталітарні держави другої половини XX - початку XXI ст. 4 сторінка

 матриця  називається унімодулярной, Якщо вона має матрицю  своїм канонічним виглядом, т. е. якщо все її інваріантні множники дорівнюють одиниці.

ТЕОРЕМА 1. матриця тоді і тільки тоді унімодулярная, якщо її визначник відмінний від нуля, але не залежить від  , Т. Е. Є відмінним від нуля числом з основного поля .

ДОВЕДЕННЯ. якщо  , То цим двом матрицями відповідає один і той же поліном  . Однак для одиничної матриці  . Звідси випливає, що визначник матриці  , Що відрізняється від  лише відмінним від нуля числовим множником, буде відмінним від нуля числом з поля .

Назад, якщо визначник матриці  відмінний від нуля і не залежить від , То для цієї матриці многочлен  буде дорівнює  , А т. До.  то все інваріантні множники  матриці ,  дорівнюють одиниці. ?

СЛІДСТВО 1. Будь-яка невироджена числова матриця є унімодулярной  матрицею. ?

Приклад 2. матриця

є унімодулярной, дійсно, її визначник дорівнює 20, т. е. відмінний від нуля і від не залежить.

СЛІДСТВО 2. твір унімодулярних  матриць саме унімодулярно.

Доказ випливає з теореми про твір визначників. ?

ТЕОРЕМА 2.  матриця  тоді і тільки тоді унімодулярна, коли для неї існує зворотна матриця, яка також є  матрицею.

ДОВЕДЕННЯ. Дійсно, якщо дана невироджена матриця, то, розшукуючи звичайним способом зворотну матрицю, ми повинні будемо ділити алгебраїчні доповнення до елементів даної матриці на визначник цієї матриці, т. е. на деякий многочлен від . Тому в загальному випадку елементи оберненої матриці будуть раціональними дробами від , А не многочленами від , Т. Е. Ця матриця не буде матрицею. Якщо ж дана унімодулярна матриця, то ділити алгебраїчні доповнення доведеться лише на відмінне від нуля число з поля Р, тобто елементи оберненої матриці будуть многочленами від і тому зворотна матриця сама буде матрицею. Назад, якщо матриця має зворотну матрицею , То визначники цих обох матриць є многочленами від , Їх добуток дорівнює  , А тому обидва визначника повинні бути многочленами нульової ступеня. ?

СЛІДСТВО 3.  матриця, обернена до унімодулярной  матриці, сама унімодулярна. ?

назвемо елементарної матрицею числову (і, отже, ) Матрицю виду (1) або (2):

 (1)

відрізняється від одиничної матриці лише тим, що на деякому  му місці головної діагоналі,  , Варто довільне число  з поля  , Відмінне від нуля;

 (2)

відрізняється від одиничної матриці лише тим, що на перетині  го рядка і  ого шпальти, ,  причому  , Варто довільний многочлен  з кільця .

ЗАТВЕРДЖЕННЯ 1. Будь-яка елементарна матриця унімодулярна.

ДОВЕДЕННЯ. Справді, визначник матриці (1) дорівнює  , Але, за умовою,  ; визначник ж матриці (2) в точності
 дорівнює  . ?

ЗАТВЕРДЖЕННЯ 2. виконання в  матриці  будь-якого елементарного перетворення рівносильно множенню цієї матриці зліва чи справа на деяку елементарну матрицю.

ДОВЕДЕННЯ. Дійсно, очевидна справедливість наступних чотирьох тверджень:

1) множення матриці зліва на матрицю (1) рівносильне множенню  го рядка матриці на число ;

2) множення матриці праворуч на матрицю (1) рівносильне множенню  ого шпальти матриці на число ;

3) множення матриці зліва на матрицю (2) рівносильне збільшенню до  ой рядку матриці її  го рядка, помноженої на ;

4) множення матриці праворуч на матрицю (2) рівносильне збільшенню до  ому стовпцю матриці її  ого шпальти, помноженого на  . ?

ЗАТВЕРДЖЕННЯ 3.  матриця тоді і тільки тоді унімодулярна, коли вона представила у вигляді твору елементарних матриць.

ДОВЕДЕННЯ. Твір елементарних матриць, як окремого випадку унімодулярних, саме унімодулярно.

Назад, якщо матриця  є унімодулярной, то ,
 т. е. від  можна перейти до  за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень. Замінюючи кожне з цих перетворень множенням зліва чи справа на елементарну матрицю, ми прийдемо до рівності

,

де всі матриці  елементарні. ?

ТЕОРЕМА 3. (другий критерій еквівалентності  матриць). дві  матриці и  порядку  тоді і тільки тоді еквівалентні, коли існують такі унімодулярние  матриці и  того ж порядку  , що

 (3)

ДОВЕДЕННЯ. Воно аналогічно доказу попереднього затвердження. Так як  , То від  можна перейти до  за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень, т. е.

 (4)

де матриці  елементарні й, отже, унімодулярни. Унімодулярнимі будуть, тому і матриці

 (5)

є творами унімодулярних матриць, а рівність (4) перепишеться у вигляді (3). Зауважимо, що якщо, наприклад,  , Т. Е. Елементарні перетворення здійснювалися лише над стовпцями, то вважаємо просто .

Назад, нехай для матриць и  існують такі унімодулярние матриці и , Що має місце рівність (3). За доведеним, матриці и можна представити у вигляді творів елементарних матриць; нехай це будуть уявлення (5). Рівність (3) перепишеться тепер у вигляді (4) і, замінюючи кожне множення на елементарну матрицю відповідним елементарним перетворенням, ми отримаємо, нарешті, що  . ?

§3.3. матричні многочлени.

будемо називати матричним  многочленом порядку  над полем  многочлен від  , Коефіцієнтами якого служать квадратні матриці одного і того ж порядку  з елементами з поля  ; його загальним видом буде:

 (1)

всякий матричний  многочлен порядку  можна записати у вигляді  матриці порядку  . Так наприклад

.

І назад, всяка  матриця порядку  може бути записана у вигляді матричного  многочлена порядку  . так,

відповідність між  матрицями і матричними  многочленами є взаємно однозначним і ізоморфні. Дійсно, рівність  многочленів виду (1) як матриць рівносильно рівності матричних коефіцієнтів при однакових ступенях  , А множення матриці на  рівносильно множенню її на числову матрицю з  на головній діагоналі.

нехай дана  матриця  , причому

,

де матриця  не є нульовою. число  назвемо ступенем  матриці  ; це буде найвищий ступінь (по  ) Елементів матриці .

ізоморфізм між  матрицями і матричними многочленами дозволяє розвивати для  матриць теорію подільності, аналогічну теорії подільності для числових многочленів, але ускладнює некомутативними множення матриць і наявністю подільників нуля. Розглянемо алгоритм розподілу із залишком.

ТЕОРЕМА. Нехай над полем  дані  матриці порядку

,

,

причому припустимо, що матриця  невироджена, т. е. існує матриця  . Тоді над полем  можна знайти такі  матриці и  того ж порядку  , що

, (2)

причому ступінь  менше ступеня  або ж  . З іншого боку, над полем  можна знайти такі  матриці и  порядку  , що

, (3)

причому ступінь  менше ступеня  або ж  . матриці и  , а також и  , Що задовольняють цим умовам, визначаються однозначно.

Доказ цієї теореми проходить так само, як доказ відповідної теореми для числових многочленів. Нехай умові (2) задовольняють також матриці и  , Причому ступінь  менше ступеня . тоді

.

Ступінь правій частині менше  , Ступінь же лівій частині, якщо квадратна дужка відмінна від нуля, більше або дорівнює  , Так як матриця  невироджених. Звідси випливає єдиність матриць и .

Доведемо існування цих матриць. при  ступінь

буде строго менше  ; позначимо її  , А старший коефіцієнт многочлена  через  . Якщо все ще  , то

.

позначимо через  ступінь, а через  старший коефіцієнт матричного многочлена  . покладемо потім

,

і т.д.

Так як ступеня багаточленів , ,  зменшуються,  , То за кінцеве число кроків дійдемо до многочлена ,

,

ступінь якого менше  . Складаючи попередні рівності, отримаємо:

,

де вираз в дужках і буде матричним  многочленом , а .

З іншого боку, розглядаючи різницю

,

бачимо, що її ступінь також строго менше  , а  буде старшим членом матричного  многочлена . Звідки переконуємося, що  матриці и (а також и ), Що задовольняють умовам теореми, дійсно в загальному випадку будуть різними. ?

 




Невід'ємні лінійні оператори. | Лінійні оператори в евклідовому просторі. | ЗАВДАННЯ ДО ЧОЛІ I. | Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду. | Приведення квадратичної форми до головних осей. | Закон інерції. | Розпадаються квадратичні форми. | Позитивно певні форми. | Пари форм. | ЗАВДАННЯ ДО ЧОЛІ II. |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати