загрузка...
загрузка...
На головну

Матриці, їх еквівалентність.

  1. Визначення. Матриці, отримані в результаті елементарного перетворення, називаються еквівалентними.
  2. Самосопряженних оператори, їх властивості, матриці, власні вектори, приклади.

В цьому розділі займемося вивченням квадратних матриць порядку  , Елементами яких служать многочлени довільних ступенів від одного невідомого  з коефіцієнтами з поля  . Такі матриці називаються багаточленними матрицями або поліноміальними матрицями, Або, коротше, матрицями. прикладом  матриці може служити характеристична матриця  довільної квадратної матриці  з елементами з поля  ; на головній діагоналі цієї матриці стоять многочлени першого ступеня, поза головною діагоналі  многочлени нульового ступеня або нулі. Будь-яка матриця з елементами з поля  також буде окремим випадком  матриці. Такі матриці для стислості будемо називати числовими матрицями, її елементи є многочленами нульової ступеня або нулями. У загальному випадку  матриця виглядає наступним чином:

Назвемо елементарними перетвореннями цієї матриці перетворення наступних двох типів:

1) множення будь-якого рядка (стовпця) матриці  на будь-яке число  з поля  , Відмінне від нуля;

2) додаток до будь-якої  ой рядку (  ому стовпцю) матриці  будь-який її  го рядка (  ого шпальти),  , Притому помноженої (помноженого) на будь-який многочлен  з кільця .

Легко бачити, що для кожного з елементарних перетворень матриці існує зворотне перетворення, також є елементарним. Так, зворотним для перетворення 1) буде елементарне перетворення, що складається в множенні тієї ж рядки (шпальти) на число  , Існуюче на увазі умови  ; а зворотним для перетворення 2) буде перетворення, що складається в додаванні до  ой рядку (  ому стовпцю)  го рядка (  ого шпальти), помноженою (помноженого) на .

ЗАТВЕРДЖЕННЯ 1. У матриці  можна за допомогою декількох елементарних перетворень переставити будь-які дві рядки або будь-які два стовпці.

ДОВЕДЕННЯ. Нехай, наприклад, потрібно переставити  ую і  ую рядки матриці . Це можна зробити за допомогою чотирьох елементарних перетворень, як показує наступна схема:

Тут послідовно були виконані наступні перетворення

a) до  ой рядку додана  а я; b) з  го рядка віднімемо нова  а я; c) до нової  ой рядку додана нова  а я; d) нова  ий рядок помножена на  . ?

Будемо говорити, що  матриці и еквівалентні, І записувати  , Якщо від матриці  можна перейти до матриці  за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень. ставлення  є, очевидно, рефлексивним і транзитивним, а також і симетричним зважаючи на існування для кожного елементарного перетворення зворотного елементарного перетворення, т. е. є відношенням еквівалентності. Таким чином, всі квадратні  матриці порядку  над полем  розпадаються на непересічні класи еквівалентних матриць. Нашою найближчою метою є розвідку серед всіх  матриць, еквівалентних даній матриці  , Найбільш простого представника класу еквівалентності. Для цього введемо таке поняття. канонічної матрицею називається  матриця, що володіє наступними трьома властивостями:

а) ця матриця діагональна, т. е. має вигляд

 ; (1)

б) всякий многочлен  , Без остачі ділиться на многочлен ;

в) старший коефіцієнт кожного многочлена  , Дорівнює одиниці, якщо цей многочлен відмінний від нуля.

Відзначимо, що якщо серед многочленів  , Що стоять на головній діагоналі канонічної  матриці (1), зустрічаються рівні нулю, то, з огляду на властивості б), вони неодмінно займають на головній діагоналі останні місця. З іншого боку, якщо серед многочленів  зустрічаються многочлени нульового ступеня, то, по властивості в), всі вони рівні  і, по властивості б), займають на головній діагоналі матриці (1) перші місця.

До числа канонічних  матриць належать, зокрема, деякі числові матриці, в тому числі матриці одинична і нульова.

ТЕОРЕМА 1. (про канонічну  матриці). Будь-яку матрицю за допомогою елементарних перетворень можна привести до канонічного виду.

ДОВЕДЕННЯ. Будемо доводити теорему індукцією один по одному  розглянутих  матриць. Дійсно, при  буде

.

якщо  то матриця вже канонічна. Якщо ж  , То досить помножити многочлен  на елемент, зворотний для його старшого коефіцієнта, (а це буде елементарне перетворення матриці) отримаємо канонічний вигляд.

Нехай теорема вже доведена для  матриць порядку  . Розглянемо довільну  матрицю  порядку  . Якщо вона нульова, то вже є канонічною. Будемо вважати, що серед елементів матриці  є ненульові.

Переставляючи, якщо знадобиться, рядки і стовпці матриці  можна домогтися того, щоб один з ненульових елементів розташовувався в лівому верхньому кутку. Розглянемо всі такі матриці. Багаточлени, що стоять в лівому верхньому кутку цих матриць, можуть мати різні ступені. Ступінь многочлена є натуральним числом, значить можна знайти серед всіх  матриць, еквівалентних матриці  і мають ненульовий елемент в лівому верхньому кутку, таку (одну з таких), що многочлен, що стоїть в її лівому верхньому кутку, має найменшу можливу ступінь. Ділячи перший рядок цієї матриці на старший коефіцієнт зазначеного многочлена, ми отримаємо  матрицю, еквівалентну матриці ,

що  , Старший коефіцієнт цього многочлена дорівнює  , І неможливо за допомогою елементарних перетворень перейти від отриманої матриці до такої матриці, в лівому верхньому кутку якої стояв би ненульовий многочлен меншій мірі.

Доведемо тепер, що всі елементи першого рядка і першого стовпця отриманої матриці без остачі діляться на  . Нехай, наприклад, для

,

де ступінь  менше ступеня  , якщо  відмінно від нуля. Тоді, віднімаючи з  ого шпальти нашої матриці її перший стовпець, помножений на  , А потім, переставляючи перший і  ий стовпчики, прийдемо до такої матриці, еквівалентної матриці  , В лівому верхньому кутку якої стоїть многочлен  , Т. Е. Многочлен меншій мірі, ніж  , Що суперечить вибору цього многочлена. Звідси випливає .

Віднімаючи тепер з  ого шпальти матриці її перший стовпець, помножений на  , Замінимо елемент  нулем. Роблячи такі перетворення для  , Замінимо нулями всі елементи  . Аналогічно замінюються нулями і все елементи ,  . Таким чином отримаємо матрицю, еквівалентну матриці  , В лівому верхньому кутку якої стоїть многочлен  , А всі інші елементи першого рядка і першого стовпця дорівнюють нулю, т. Е.

 . (2)

За індуктивному припущенню, матриця  ого порядку, що стоїть в правому нижньому кутку отриманої матриці (2), елементарними перетвореннями приводиться до канонічного вигляду:

.

Зробивши ці ж перетворення над відповідними рядками і стовпцями матриці (2)  при цьому перший рядок і перший стовпець цієї матриці залишаться, очевидно, без зміни,  ми отримаємо, що,

 . (3)

Для доказу того, що матриця (3) є канонічною, покажемо, що  остачі ділиться на  . нехай

,

де  і ступінь  менше ступеня  . Додаючи на дві колонки матриці (3) її перший стовпець, помножений на  , А потім віднімаючи з другого рядка перший рядок, ми замінимо елемент  елементом  . Переставляючи, далі, перші два рядки і перші два стовпці, ми перемістимо многочлен  в лівий верхній кут матриці, що суперечить вибору многочлена  . ?

Нехай дана довільна  матриця  порядку  . Фіксуємо деяке натуральне число  і розглянемо все мінори  ого порядку матриці  . Обчислюючи ці мінори, отримаємо кінцеву систему многочленів від  ; найбільший спільний дільник цієї системи многочленів, взятий зі старшим коефіцієнтом  , Позначимо через .

отримаємо многочлени

 , (4)

однозначно визначаються самою матрицею .

При цьому  є найбільший спільний дільник всіх елементів матриці  , Взятий з коефіцієнтом 1, a  дорівнює визначнику матриці  , Поділеній на його старший коефіцієнт.

Зауважимо також, що якщо матриця  має ранг  , то

,

в той час як всі інші многочлени системи (4) відмінні від нуля.

ТЕОРЕМА 2. (про НОДах еквівалентних матриць). Найбільший спільний дільник всіх мінорів  ого порядку матриці , , Не змінюється при виконанні в матриці елементарних перетворень.

ДОВЕДЕННЯ. Затвердження майже очевидно для того випадку, коли в матриці  виконується елементарне перетворення типу 1). Так, наприклад, якщо  й рядок матриці множиться на число  з поля ,  , То ті мінори  ого порядку, через які  ий рядок проходить, будуть множитися на  , Все ж решта мінори  ого порядку залишаться без зміни. Однак при розвідці найбільшого загального дільника декількох многочленів будь-які з цих многочленів можна безперешкодно множити на відмінні від нуля числа з поля  (§4.4  ).

Розглянемо тепер елементарні перетворення типу 2). Нехай, наприклад, до  ой рядку, матриці  додається її  й рядок,  , Помножена на многочлен  . Яка утворюється після цього перетворення матрицю позначимо через  , А найбільший спільний дільник всіх її мінорів  ого порядку, взятий зі старшим коефіцієнтом ,  через  . Подивимося, що відбувається при зазначеному перетворенні з минорами  ого порядку матриці .

Ясно, що не змінюватимуться ті мінори, через які  й рядок не проходить. Чи не змінюються і ті мінори, через які проходять як  ая, так і  а рядки, так як визначник не змінюється від додавання до однієї його рядку кратного інший його рядки. Візьмемо, нарешті, будь-який з тих миноров  ого порядку, через які проходить  й рядок, але не проходить  а я; позначимо його через  . Відповідний мінор матриці  можна уявити, очевидно, як суму мінору  і помноженого на  мінору  матриці  , Що виходить з мінору  заміною елементів  го рядка матриці  відповідними елементами її  го рядка. Так як і  , і  поділяються на  , То і  ділитиметься на .

Звідси випливає, що всі мінори  ого порядку матриці  остачі діляться на  , А тому і  ділиться на  . Так як, проте, для розглянутого елементарного перетворення існує зворотне елементарне перетворення того ж типу, то і  ділиться на  . Якщо ж врахувати, що старші коефіцієнти обох цих многочленів рівні  , то  . ?

СЛІДСТВО. всім матрицями, еквівалентним матриці , Відповідає один і той же набір многочленів (4). ?

Це відноситься, зокрема, до будь-якої (якщо їх декілька) канонічної матриці, еквівалентній  . Нехай (3) буде одна з таких матриць.

обчислимо многочлен ,  , Користуючись матрицею (3). Ясно, що мінор  ого порядку, що стоїть в лівому верхньому кутку цієї матриці, дорівнює добутку

 (5)

Якщо, далі, беремо в матриці (3) мінор  ого порядку, що стоїть в рядках з номерами  , де  , І в шпальтах з тими ж самими номерами, то цей мінор дорівнює добутку  , Яке ділиться на (5), т. К.  і тому  ділиться на  . Нарешті, якщо в матриці (3) узятий мінор  ого порядку, через який хоча б для одного  проходить  ий рядок цієї матриці, але не проходить її  ий стовпець, то цей мінор містить нульову рядок і тому дорівнює нулю.

Зі сказаного випливає, що твір (5) і буде найбільшим загальним дільників всіх мінорів k-го порядку матриці (3), а тому і вихідної матриці  , Т. Е.

 . (6)

ТЕОРЕМА 3. Будь-яка матриця еквівалентна лише однієї канонічної матриці.

ДОВЕДЕННЯ. Покажемо, що многочлени ,  , Однозначним чином визначаються самою матрицею  . Нехай ранг цієї матриці дорівнює  . Тоді, як відомо,  , але  , А тому, з огляду на (6),  . Звідси, з огляду на властивостей канонічної матриці, взагалі слід, що якщо ранг  матриці  менше  , то

 . (7)

А для  з (6) випливає, зважаючи  , що

 . ? (8)

Тим самим ми отримали спосіб безпосереднього розвідки многочленів  , званих інваріантними множниками матриці .

Аналізуючи вищесказане, можемо сформулювати основний результат даного параграфа.

ТЕОРЕМА 4. (перший критерій еквівалентності  матриць). дві матриці еквівалентні тоді і тільки тоді, коли вони приводяться до одного і того ж канонічного вигляду. ?

Приклад 1. Привести до канонічного вигляду  матрицю

.

Рішення. Виконуючи ланцюжок елементарних перетворень, отримуємо;

.

З іншого боку, можна обчислити інваріантні множники матриці  . Саме, обчислюючи найбільший спільний дільник елементів цієї матриці, отримуємо:

.

Обчислюючи ж визначник матриці  і помічаючи, що його старший коефіцієнт дорівнює  , Отримуємо:

.

а тому

.

 




Кососімметріческіх оператори. | Невід'ємні лінійні оператори. | Лінійні оператори в евклідовому просторі. | ЗАВДАННЯ ДО ЧОЛІ I. | Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду. | Приведення квадратичної форми до головних осей. | Закон інерції. | Розпадаються квадратичні форми. | Позитивно певні форми. | Пари форм. |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати