загрузка...
загрузка...
На головну

Розпадаються квадратичні форми.

  1. Безробіття, сутність види, форми. Державна політика зайнятості
  2. Влада і особистий вплив, їх форми. Поняття балансу влади
  3. Внутрішня політика Олександра II в I860-1870-е рр. Ліберальні реформи.
  4. Випишіть з тексту всі дієслова, які описують зміни лику землі. Дайте їх 3 форми.
  5. Рух, його основні форми. Суперечлива природа руху
  6. Інфляція: сутність, причини, форми. Антиінфляційна політика держави
  7. квадратичні відрахування

Перемножая будь-які дві лінійні форми від невідомих,

,

ми отримаємо, очевидно, деяку квадратичную форму. Не всяка квадратична форма може бути представлена ??у вигляді добутку двох лінійних форм, і ми хочемо вивести умови, при яких це має місце, т. Е. При яких квадратична форма є розпадається.

ТЕОРЕМА Комплексна квадратична форма  розпадається тоді і тільки тоді, якщо її ранг менше або дорівнює двом. Дійсна квадратична форма  розпадається тоді і тільки тоді, якщо або її ранг не більш одиниці, або ж він дорівнює двом, а сигнатура дорівнює нулю.

ДОВЕДЕННЯ. Розглянемо спочатку твір лінійних форм и  , Т. Е. Таких форм, кожний доданок яких є першим ступенем змінної з деяким коефіцієнтом. Якщо хоча б одна з цих форм нульова, то їх твір буде квадратичною формою з нульовими коефіцієнтами, т. Е. Воно має ранг 0. Якщо лінійні форми и  пропорційні,

,

причому  і форма  ненульова, то нехай, наприклад, коефіцієнт  відмінний від нуля. Тоді невироджене лінійне перетворення

 при

призводить квадратичную форму  до виду

.

Справа стоїть квадратична форма рангу 1, а тому і квадратична форма  має ранг 1. Якщо ж, нарешті, лінійні форми и  не є пропорційними, то нехай, наприклад,

.

Тоді лінійне перетворення

буде невиродженим; воно призводить квадратичную форму  до виду

.

Справа стоїть квадратична форма рангу 2, що має в разі дійсних коефіцієнтів сигнатуру 0.

Перейдемо до доведення зворотного твердження. Квадратична форма рангу 0 може розглядатися як твір двох лінійних форм, одна з яких нульова. Далі, квадратична форма рангу 1 невироджених лінійним перетворенням приводиться до вигляду

,

т. е. до виду

.

висловлюючи  лінійно через  , Ми одержимо уявлення форми  у вигляді добутку двох лінійних форм. Нарешті, дійсна квадратична форма рангу 2 і сигнатури 0 наводиться невироджених лінійним перетворенням до виду

;

до цього ж виду може бути наведена будь-комплексна квадратична форма рангу 2. Однак

,

але справа, після заміни и  їх лінійними виразами через  , Буде стояти твір двох лінійних форм. ?

 




Зв'язані оператори. | Нормальні оператори. | Унітарні оператори. | Ермітовим (самосопряженних) оператори. | Кососімметріческіх оператори. | Невід'ємні лінійні оператори. | Лінійні оператори в евклідовому просторі. | ЗАВДАННЯ ДО ЧОЛІ I. | Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду. | Приведення квадратичної форми до головних осей. |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати