Головна |
Перемножая будь-які дві лінійні форми від невідомих,
,
ми отримаємо, очевидно, деяку квадратичную форму. Не всяка квадратична форма може бути представлена ??у вигляді добутку двох лінійних форм, і ми хочемо вивести умови, при яких це має місце, т. Е. При яких квадратична форма є розпадається.
ТЕОРЕМА Комплексна квадратична форма розпадається тоді і тільки тоді, якщо її ранг менше або дорівнює двом. Дійсна квадратична форма розпадається тоді і тільки тоді, якщо або її ранг не більш одиниці, або ж він дорівнює двом, а сигнатура дорівнює нулю.
ДОВЕДЕННЯ. Розглянемо спочатку твір лінійних форм и , Т. Е. Таких форм, кожний доданок яких є першим ступенем змінної з деяким коефіцієнтом. Якщо хоча б одна з цих форм нульова, то їх твір буде квадратичною формою з нульовими коефіцієнтами, т. Е. Воно має ранг 0. Якщо лінійні форми и пропорційні,
,
причому і форма ненульова, то нехай, наприклад, коефіцієнт відмінний від нуля. Тоді невироджене лінійне перетворення
при
призводить квадратичную форму до виду
.
Справа стоїть квадратична форма рангу 1, а тому і квадратична форма має ранг 1. Якщо ж, нарешті, лінійні форми и не є пропорційними, то нехай, наприклад,
.
Тоді лінійне перетворення
буде невиродженим; воно призводить квадратичную форму до виду
.
Справа стоїть квадратична форма рангу 2, що має в разі дійсних коефіцієнтів сигнатуру 0.
Перейдемо до доведення зворотного твердження. Квадратична форма рангу 0 може розглядатися як твір двох лінійних форм, одна з яких нульова. Далі, квадратична форма рангу 1 невироджених лінійним перетворенням приводиться до вигляду
,
т. е. до виду
.
висловлюючи лінійно через , Ми одержимо уявлення форми у вигляді добутку двох лінійних форм. Нарешті, дійсна квадратична форма рангу 2 і сигнатури 0 наводиться невироджених лінійним перетворенням до виду
;
до цього ж виду може бути наведена будь-комплексна квадратична форма рангу 2. Однак
,
але справа, після заміни и їх лінійними виразами через , Буде стояти твір двох лінійних форм. ?
Зв'язані оператори. | Нормальні оператори. | Унітарні оператори. | Ермітовим (самосопряженних) оператори. | Кососімметріческіх оператори. | Невід'ємні лінійні оператори. | Лінійні оператори в евклідовому просторі. | ЗАВДАННЯ ДО ЧОЛІ I. | Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду. | Приведення квадратичної форми до головних осей. |