загрузка...
загрузка...
На головну

Приведення квадратичної форми до головних осей.

  1. I.5. Організація освітньої діяльності. Форми організації навчальної діяльності
  2. II Форми спілкування, до вампіризму не відносяться
  3. II. Процесуальний документ як акт безпосередньої форми реалізації норм права.
  4. II.4.1) Історичні форми одноосібної влади.
  5. III. Методичні вказівки для студентів заочної форми навчання з виконання контрольної роботи
  6. III. Обробка списків за допомогою форми
  7. III.1.1) Форми кримінального процесу.

Теорія приведення квадратичної форми до канонічного виду, викладена в попередньому параграфі, побудована за аналогією з геометричною теорією центральних кривих другого порядку, але не може вважатися узагальненням цієї останньої теорії. Справді, в нашій теорії допускається використання будь-яких невироджених лінійних перетворень, в той час як приведення кривої другого порядку до канонічного вигляду досягається застосуванням лінійних перетворень вельми спеціального виду (2), що є обертаннями площини. Ця геометрична теорія може бути, однак, узагальнена на випадок квадратичних форм від  невідомих з дійсними коефіцієнтами, якщо зажадати, щоб матриця перетворення  була ортогональною. Таке перетворення називається ортогональним, А сама процедура приведенням квадратичних форм до головних осей.

ТЕОРЕМА. Кожна квадратична форма деяким ортогональним перетворенням може бути приведена до канонічного вигляду.

ДОВЕДЕННЯ. Будемо дивитися на матрицю квадратичної форми як на матрицю деякого лінійного оператора в евклідовому просторі. якщо  матриця квадратичної форми, то вона симетрична порядку  . якщо  деякий ортонормованій базис  мірного евклідового простору, то матриця  задає в цьому базисі симетричний оператор  . За основною теоремою про симетричні операторах в евклідовому просторі в потрібному ортонормированном базисі  його матриця  буде діагональною. нехай  матриця переходу від к  , тоді .

але матриця  , Як матриця переходу від одного ортонормированного базису до іншого, по теоремі 2 §1.6 буде ортогональної, а значить,  . Тому  . А саме так перетвориться матриця  квадратичної форми, підданої лінійному перетворенню невідомих з матрицею .

Отже, перетворення невідомих, має матрицю  ортогонально, а матриця  , Будучи діагональної, відповідає квадратичної формі канонічного виду. ?

Той факт, що матриця лінійного оператора  в базисі, складеному з власних векторів, має діагональний вигляд (з власними значеннями по головній діагоналі) [2], дає нам метод практичного відшукання канонічного виду квадратичної форми, а також самого цього ортогонального перетворення.

Приклад 2. Знайти ортогональное перетворення, що приводить квадратичну форму

до канонічного вигляду і написати цей канонічний вигляд.

Рішення. Матриця цієї форми має вигляд

,

Знайдемо її характеристичний многочлен:

.

Таким чином, матриця  має дворазовий корінь  і простий корінь  . Отже, канонічний вид даної квадратичної форми буде

.

Знайдемо ортогональное перетворення, яке здійснює це приведення. Для цього знайдемо власні вектори, відповідні знайденим власним значенням  , Т. Е. Вирішимо системи лінійних однорідних рівнянь  для кожного .

при  маємо

.

Звідки  , Т. Е. Є 2 незалежні змінні, і фундаментальний набір рішень буде:

Застосувавши до них процес ортогоналізації, отримаємо:

при  маємо

.

Дана система еквівалентна наступній:

,

рішенням якої буде

.

Залишається нормувати систему :

Таким чином шукане перетворення має вигляд:

Для того щоб знайти матрицю перетворення  , Потрібно висловити змінні  через  , Т. Е. Знайти матрицю, зворотну матриці перетворення  . А так як  , То досить транспонувати матрицю перетворення  . Остаточно маємо:

.

 




Ізоморфізм унітарних просторів. | Лінійні функції. | Зв'язані оператори. | Нормальні оператори. | Унітарні оператори. | Ермітовим (самосопряженних) оператори. | Кососімметріческіх оператори. | Невід'ємні лінійні оператори. | Лінійні оператори в евклідовому просторі. | ЗАВДАННЯ ДО ЧОЛІ I. |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати