загрузка...
загрузка...
На головну

Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду.

  1. I.5. Організація освітньої діяльності. Форми організації навчальної діяльності
  2. II Форми спілкування, до вампіризму не відносяться
  3. II. Процесуальний документ як акт безпосередньої форми реалізації норм права.
  4. II.4.1) Історичні форми одноосібної влади.
  5. III. Методичні вказівки для студентів заочної форми навчання з виконання контрольної роботи
  6. III. Обробка списків за допомогою форми
  7. III.1.1) Форми кримінального процесу.

Теорія квадратичних форм бере свій початок в аналітичної геометрії, а саме в теорії кривих другого порядку. Відомо, що рівняння центральної кривої другого порядку на площині, після перенесення початку прямокутних координат в центр цієї кривої, має вигляд

 . (1)

Відомо, далі, що можна зробити такий поворот осей координат на деякий кут  (Величина якого залежить від коефіцієнтів  ), Т. Е. Такий перехід від координат  до координат :

 (2)

що в нових координатах рівняння нашої кривої матиме «канонічний» вигляд

 , (3)

в цьому рівнянні коефіцієнт при творі невідомих  дорівнює, отже, нулю. Перетворення координат (2) можна тлумачити, очевидно, як лінійне перетворення невідомих, притому невироджене, так як визначник з його коефіцієнтів дорівнює одиниці. Це перетворення застосовується до лівої частини рівняння (1), і тому можна сказати, що ліва частина рівняння (1) невироджених лінійним перетворенням (2) перетворюється в ліву частину рівняння (3).

Розглянемо загальний випадок, коли число невідомих замість двох одно будь-якого  , А коефіцієнти є або дійсними, або ж будь-якими комплексними числами.

Узагальнюючи вираз, що складається в лівій частині рівняння (1), приходимо до наступного поняттю.

квадратичною формою від  невідомих називається сума, кожний доданок якої є або квадратом одного з цих невідомих, або добутком двох різних невідомих. Квадратична форма називається дійсної або комплексної в залежності від того, чи є її коефіцієнти дійсними або ж включають прямі будь-якими комплексними числами.

Вважаючи, що в квадратичної формі вже зроблено приведення подібних доданків, введемо такі позначення для коефіцієнтів цієї форми: коефіцієнт при  позначимо через  , А коефіцієнт при творі  для  через  . Так як, проте,  , То коефіцієнт при цьому творі міг би бути позначений і через  , Т. Е. Введені нами позначення припускають справедливість рівності

 . (4)

доданок  можна записати тепер в вигляді  , А всю квадратичную форму у вигляді суми всіляких доданків  , де и  вже незалежно один від одного приймають значення від  до :

 , (5)

зокрема, при  виходить доданок .

з коефіцієнтів  можна скласти, очевидно, квадратну матрицю  порядку  , вона називається матрицею квадратичної форми , А її ранг рангом цієї квадратичної форми. Якщо, зокрема,  , Т. Е. Матриця - невироджена, то і квадратична форма називається невироджених. З огляду на рівності (4) елементи матриці  , Симетричні відносно головної діагоналі, рівні між собою, т. Е. Матриця симетрична. Назад, для будь-якої симетричної матриці  гопорядка можна вказати цілком певну квадратичну форму (5) від  невідомих, що має елементи матриці  своїми коефіцієнтами.

ЗАТВЕРДЖЕННЯ 1. Матриця, отримана Транспонированием твори, дорівнює добутку матриць, які утворюються Транспонированием сомножителей, притому взятих в зворотному порядку,

 (6)

ДОВЕДЕННЯ. Дійсно, якщо твір . визначено, то буде визначено, як легко перевірити, і твір  : Число стовпців матриці  дорівнює числу рядків матриці  . елемент матриці  , Що стоїть в її  ой рядку і  му стовпці, в матриці  розташований в  ой рядку і  му стовпці. Він дорівнює, тому, сумі творів відповідних елементів  го рядка матриці и  го шпальти матриці  , Т. Е. Дорівнює сумі творів відповідних елементів  го шпальти матриці и  го рядка матриці  . ?

ЗАТВЕРДЖЕННЯ 2. матриця  тоді і тільки тоді буде симетричною, коли вона збігається зі своєю транспонованою, т. е.

 . ?

Позначимо тепер через  стовпець, складений з невідомих,

.

Транспоніруя цю матрицю, отримаємо матрицю

.

Квадратична форма (5) з матрицею  може бути записана тепер у вигляді наступного твору:

 (7)

Дійсно, твір  буде матрицею, що складається з одного стовпця:

.

Помноживши цю матрицю зліва на матрицю  , Ми отримаємо «матрицю», що складається з одного рядка і одного стовпця, а саме праву частину рівності (5).

Розглянемо, далі, лінійне перетворення змінних  , Що входять в квадратичну форму .

. (8)

Матрицею цього перетворення буде  . перетворення називається невироджених, Якщо матриця  невироджених. При цьому вважаємо, що якщо форма  дійсна, то і елементи матриці  повинні бути дійсними.

позначаючи через  стовпець з невідомих  , Запишемо лінійне перетворення (8) у вигляді матричного рівняння:

 . (9)

ТЕОРЕМА 1. Квадратична форма від  невідомих, що має матрицю  , Після виконання лінійного перетворення невідомих з матрицею  перетворюється в квадратичну форму від нових невідомих, причому матрицею цієї форми служить твір .

ДОВЕДЕННЯ. Так як  , То по (6) маємо:

 . (10)

Підставляючи (9) і (10) в рівняння (7) форми  , Отримуємо:

,

або

,

де

.

матриця  буде симетричною, оскільки зважаючи на рівності (6), справедливого, очевидно, для будь-якого числа множників, і рівності  , Еквівалентного симетричності матриці  , Маємо:

 . ?

ЗАТВЕРДЖЕННЯ 3. Ранг квадратичної форми не змінюється при виконанні невиродженого лінійного перетворення.

ДОВЕДЕННЯ. Доведемо спочатку, що ранг твору матриць не вище рангу сомножителей. Дійсно, кожен рядок твору двох матриць и  є лінійною комбінацією рядків матриці  , А тому, ранг  не вище рангу  . Аналогічно, стовпці матриці  є лінійними комбінаціями стовпців матриці  , Значить, ранг  не вище рангу .

нехай тепер  , де невироджених матриця, тоді ранг  не вище рангу  . аналогічно,  , Отже, ранг  не вище рангу  . ?

Розглянемо тепер, за аналогією з вказаною на початку параграфа геометричною задачею, питання про приведення довільної квадратичної форми деяким невироджених лінійним перетворенням до виду

 . (11)

Цей спеціальний вид квадратичної форми називається канонічним.

ЗАТВЕРДЖЕННЯ 4. Число відмінних від нуля коефіцієнтів в (11) одно рангу  форми .

ДОВЕДЕННЯ. Нехай квадратична форма  від  невідомих  вже приведена невироджених лінійним перетворенням до канонічного вигляду (11), де  нові невідомі. Деякі з коефіцієнтів  можуть, звичайно, бути нулями. Матриця цієї квадратичної форми має діагональний вигляд

.

За пропозицією 3 ця матриця має ранг , Що рівносильно твердженням, що на її головній діагоналі стоїть рівно відмінних від нуля елементів. ?

ТЕОРЕМА 2. (основна про квадратичні форми). Будь-яка квадратична форма може бути приведена деяким невироджених лінійним перетворенням до канонічного вигляду. Якщо при цьому розглядається дійсна квадратична форма, то всі коефіцієнти зазначеного лінійного перетворення можна вважати дійсними.

ДОВЕДЕННЯ. Ця теорема вірна для випадку квадратичних форм від одного невідомого, так як будь-яка така форма має вигляд  , Що є канонічним. Будемо вести доказ індукцією по числу невідомих, т. Е. Доводити теорему для квадратичних форм від  невідомих, вважаючи її вже доведеною для форм з меншим числом невідомих.

Нехай дана квадратична форма

 (12)

від  невідомих  . Ми постараємося знайти таке невироджене лінійне перетворення, яке виділило б з  квадрат одного з невідомих, т. е. призвело б  до виду суми цього квадрата і деякої квадратичної форми від інших невідомих. Ця мета легко досягається в тому випадку, якщо средікоеффіціентов  , Що стоять в матриці форми  на головній діагоналі, є відмінні від нуля, т. е. якщо в (12) входить з відмінним від нуля коефіцієнтом квадрат хоча б одного з невідомих .

Нехай, наприклад,  . Тоді, як легко перевірити, вираз  , Що є квадратичною формою, містить такі ж члени з невідомим  , Як і наша форма  , А тому різниця

буде квадратичною формою, що містить лише невідомі  , але не  . Звідси

Якщо введемо позначення

,  при  (13)

то отримаємо

 , (14)

де  буде тепер квадратичною формою від невідомих  . Вираз (14) є шуканий вираз для форми  , Так як воно отримано з (12) невироджених лінійним перетворенням, а саме перетворенням, зворотним лінійному перетворенню (13), яке має своїм визначником  і тому не виродилися.

Якщо ж мають місце рівності  , То попередньо потрібно зробити допоміжне лінійне перетворення, що приводить до появи в нашій формі  квадратів невідомих. Так як серед коефіцієнтів в запису (12) цієї форми повинні бути відмінні від нуля, інакше нічого було б доводити, то нехай, наприклад,  , Т. Е.  є сумою доданка  і доданків, в кожен з яких входить хоча б одне з невідомих .

Зробимо тепер лінійне перетворення

, ,  при  . (15)

Воно буде невиродженим, так як має визначник

.

В результаті цього перетворення доданок  нашій форми набуде вигляду

,

т. е. у формі  з'являться, з відмінними від нуля коефіцієнтами, квадрати відразу двох невідомих, прічемоні не можуть скоротитися ні з одним з інших членів, так як в кожен з цих компетенції хоча б одне з невідомих .

Тепер ми знаходимося в умовах вже розглянутого вище випадку,
 т. е. ще одним невироджених лінійним перетворенням можемо привести форму  до виду (14).

Для закінчення докази залишається відзначити, що квадратична форма  залежить від меншого, ніж  , Числа невідомих і тому, за припущенням індукції, деяким невироджених перетворенням невідомих  приводиться до канонічного вигляду. Це перетворення, що розглядається як (невироджене, як легко бачити) перетворення всіх  невідомих, при якому  залишається без зміни, призводить, отже, (14) до канонічного вигляду. Таким чином, квадратична форма  двома або трьома невиродженими лінійними перетвореннями, які можна замінити одним невироджених перетворенням  їх твором, приводиться до вигляду суми квадратів невідомих з деякими коефіцієнтами. Число цих квадратів одно, як ми знаємо, рангу форми  . Якщо, крім того, квадратична форма  дійсна, то коефіцієнти як в канонічному вигляді форми  , Так в лінійному перетворенні, що приводить  до цього виду, будуть дійсними; справді, і лінійне перетворення, зворотне (13), і лінійне перетворення (15) мають дійсні коефіцієнти. ?

Метод, використаний в цьому доказі, може бути застосований в конкретних прикладах для дійсного приведення квадратичної форми до канонічного вигляду. Потрібно лише замість індукції, яку ми використовували в доказі, послідовно виділяти викладеним вище методом квадрати невідомих.

Приклад 1.Привести до канонічного вигляду квадратичну форму

Рішення. Зважаючи на відсутність в цій формі квадратів невідомих ми виконаємо спочатку невироджене лінійне перетворення

, ,

з матрицею

,

після чого отримаємо:

.

Тепер коефіцієнт при  відмінний від нуля, і тому з нашої форми можна виділити квадрат одного невідомого. вважаючи

, , ,

т. е. здійснюючи лінійне перетворення, для якого зворотне матиме матрицю

,

ми наведемо до канонічного вигляду

.

Лінійне перетворення, що приводить вихідну квадратичную форму до канонічного вигляду, буде мати своєї матрицею твір

.

Можна і безпосередній підстановкою перевірити, що невироджене (так як визначник дорівнює  ) Лінійне перетворення

перетворює вихідну квадратичную форму до канонічного вигляду.

 




Евклідові та унітарні простору. | Ізоморфізм унітарних просторів. | Лінійні функції. | Зв'язані оператори. | Нормальні оператори. | Унітарні оператори. | Ермітовим (самосопряженних) оператори. | Кососімметріческіх оператори. | Невід'ємні лінійні оператори. | Лінійні оператори в евклідовому просторі. |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати