загрузка...
загрузка...
На головну

Лінійні оператори в евклідовому просторі.

  1. БАЗОВІ ОПЕРАТОРИ
  2. Вектори в евклідовому просторі
  3. Вектори і лінійні операції над ними
  4. Взаємне розміщення прямих у просторі.
  5. вбудовані оператори
  6. Вирази. Оператори.
  7. Дія цивільного законодавства у просторі.

Як вже зазначалося в §1.4 (теорема 3), в унітарній просторі всякий лінійний оператор має власний вектор (одномірне інваріантне підпростір). У разі евклидова простору це твердження не так. Однак має місце наступна

ТЕОРЕМА 1. У всякого лінійного оператора  в евклідовому просторі  існує одномірне або двовимірне інваріантне підпростір.

ДОВЕДЕННЯ. виберемо в базис  . оператору в цьому базисі відповідає матриця .

Розглянемо систему рівнянь

 (1)

і будемо шукати для неї ненульове рішення  . Таке рішення існує тоді і тільки тоді, коли визначник

дорівнює нулю. Прирівнявши його нулю, ми отримаємо рівняння  го ступеня щодо  з дійсними коефіцієнтами. нехай  є корінь цього рівняння. Можливі два випадки:

a)  є речовинний корінь цього рівняння. Тоді можна знайти речові не всі рівні нулю числа  , Що є рішенням системи (1). Вважаючи їх координатами деякого вектора  в базисі  , Ми можемо систему (1) переписати у вигляді

 (де  стовпець з координат вектора )

або ,

т. е.  породжує одновимірний інваріантне підпростір.

b)  , Т. Е.  комплексно. нехай

є рішення системи (1), підставляючи ці числа замість  в (1) і відокремлюючи речову частину від уявної, отримаємо:

 (2)

і відповідно

 (2 ')

будемо тепер  (відповідно  ) Вважати координатами деякого вектора  (відповідно  ) в , Тоді співвідношення (2) і (2 ') можна записати в такий спосіб:

 (3)

Рівності (3) означають, що двовимірне підпростір, породжене векторами и  , Інваріантної щодо . ?

Якщо зажадати в доведенні теореми, щоб базис  був ортонормованим, а оператор  нормальним, то вектори и  будуть ортогональними. Дійсно, якщо  власне значення, то і  також буде власним значенням (як коріння многочлена з дійсними коефіцієнтами). Відповідні власні вектори

,

будуть ортогональними (теорема 2 §1.4). тоді  . отже, .

Доведемо тепер, що підпростір векторів  , Ортогональних векторів и  , Інваріантної, щодо оператора  . Воно є перетином двох підпросторів, ортогональних власним векторах нормального оператора. якщо  , Т. Е.  , то

.

аналогічно, .

Розглянемо обмеження  оператора  в двовимірному підпросторі, породжених векторами и  з докази попередньої теореми. матриця  оператора  в базисі  буде:

.

Представляючи комплексне число  в тригонометричної формі  , Додамо матриці  такий вигляд

.

Таким чином, оператор  є композиція операторів з матрицями

и .

Перший з яких відповідає перетворенню подібності з центром на початку координат і коефіцієнтом розтягування  ; другий  поворот в площині  на кут  близько початку координат.

ТЕОРЕМА 2. (основна про нормальних операторах в евклідових просторах). Матриця нормального оператора в евклідовому просторі має клітинно-діагональний вид в потрібному ортонормированном базисі. У клітинах порядку 1 знаходяться дійсні числа, а клітини близько 2 мають вигляд .

ДОВЕДЕННЯ. Воно аналогічно доведенню теореми 3 §1.4 про нормальних операторах. Відмінність полягає в тому, що ми не можемо стверджувати, що характеристичний многочлен  завжди має дійсний корінь. Але тоді він має 2 комплексно-сполучених кореня и  , Які по теоремі 1 дозволяють визначити підпростір розмірності 2, інваріантне щодо  , Яке породжене двома ортогональними векторами и  . Клітка матриці обмеження  оператора  в базисі  має вигляд .

Так як простір векторів, ортогональних векторів и  так само інваріантної щодо  , То залишилося скористатися індукцією по розмірності простору. ?

ТЕОРЕМА 3. (основна про ортогональних операторах в евклідових просторах). У відповідному ортонормированном базисі матриця ортогонального оператора клітинно-діагональна з клітинами близько 1 і 2; причому в клітинах близько 1 містяться числа 1 або -1, а клітини близько 2 мають вигляд , .

ДОВЕДЕННЯ. Воно випливає з теореми 2 про нормальних операторах в евклідових просторах і того факту, що власні значення ортогонального оператора (як окремого випадку унітарного оператора) по модулю рівні 1. Дійсно, якщо модулі власних значень чисел и  рівні 1, то в тригонометричної формі  і клітина має вигляд  . ?

Приклад 3.Розглянемо тривимірне евклідів простір  . По теоремі 3 для кожного ортогонального оператора  простору  можна знайти таку ортонормированном систему векторів  , Що матриця оператора  матиме один з наступних шести видів:

Оператори відповідають наступним перетворенням простору:

a) тотожне перетворення;

b) дзеркальне відображення відносно площини ;

c) дзеркальне відображення відносно прямої ;

d) дзеркальне відображення відносно точки ;

e) обертання на кут  близько осі ;

f) обертання на кут  близько осі  , Супроводжуване дзеркальним відображенням відносно площини .

Для симетричних операторів теорема формулюється так само, як і для ермітових. Згідно з теоремою 2 цього пункту матриця оператора  розпадається на клітини порядків 1 або 2. При цьому клітини близько 2 з'являються тільки тоді, коли характеристичний многочлен оператора має комплексні корені. Але характеристичні корені симетричних операторів дійсні. Отже, справедлива

ТЕОРЕМА 4. (основна про симетричні операторах). Матриця симметрического оператора в потрібному ортонормированном базисі є діагональною з дійсними числами по головній діагоналі. ?

ТЕОРЕМА 5. (основна про кососімметріческіх операторах в евклідових просторах). У відповідному ортонормированном базисі матриця кососімметріческіх оператора евклидова простору має клітинно-діагональний вид з клітинами порядків 1 або 2; причому в клітинах близько 1 знаходиться число 0, а клітини близько 2 мають вигляд .

Доказ випливає з теореми 2 про нормальних операторах в евклідових просторах і того факту, що власні значення кососімметріческіх оператора або 0, або чисто уявне число. ?





УДК 512.8 4 сторінка | УДК 512.8 5 сторінка | Евклідові та унітарні простору. | Ізоморфізм унітарних просторів. | Лінійні функції. | Зв'язані оператори. | Нормальні оператори. | Унітарні оператори. | Ермітовим (самосопряженних) оператори. | Кососімметріческіх оператори. |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати