загрузка...
загрузка...
На головну

Нормальні оператори.

  1. Вирази. Оператори.
  2. Досьє. 5.1. Наука і паранормальні явища
  3. Кососімметріческіх оператори.
  4. Невід'ємні лінійні оператори.
  5. НОРМАЛЬНІ АЛГОРИТМИ МАРКОВА
  6. Нормальні і аномальні особистості
  7. Нормальних і дотичних напружень ПРИ ВИГИНІ

лінійний оператор  унітарного простору  називається нормальним, якщо

,

т. е. якщо він перестановочен зі своїм зв'язаних.

якщо ортонормованій базис простору и  матриця нормального оператора  в цьому базисі, то по теоремі з §1.3 маємо .

Справедливі наступні три теореми про нормальних операторах.

ТЕОРЕМА 1. Всякий власний вектор  нормального оператора , що відповідає власному значенню  буде і власним вектором оператора  , Який відповідає комплексно-сполучених значенням .

ДОВЕДЕННЯ. якщо  лінійний оператор, а  тотожний оператор  , то  також лінійний оператор, зв'язаних для якого буде  (Т. К.  ). За умовою  нормальний оператор, значить  . Неважко перевірити, що

.

З того, що є власним вектором оператора  випливає, що  , значить

Тобто и  . ?

ТЕОРЕМА 2. Власні вектори, які відповідають різним власним значенням нормального оператора будуть ортогональні.

ДОВЕДЕННЯ. нехай .

тоді

.

Звідки  , отже  , Т. К.  . ?

ТЕОРЕМА 3. (основна про нормальних операторах). Для кожної нормальної оператора в унітарній просторі знайдеться ортонормованій базис, складений з власних векторів оператора . матриця має в цьому базисі діагональний вид.

ДОВЕДЕННЯ. нехай  характеристичний корінь лінійного оператора  (По основній теоремі алгебри комплексних чисел [3] такий корінь існує). Йому відповідає власний вектор  . Розглянемо безліч  , Яке є подпространством простору  і називається ортогональним до  . Так як  , То для будь-якого вектора  справедливо

.

Таким чином,  як тільки  . Таке підпростір називається інваріантним, Щодо оператора .

Розглянемо оператор  , Заданий на  наступним чином:  . Воно називається обмеженням на  . Зауважимо, що власні вектори  будуть власними векторами і .

Далі аналогічно знаходимо в  власний вектор  оператора  . нехай  підпростір векторів, ортогональних до и .  буде знову інваріантним щодо  , Т. К. Є перетином двох симетричних підпросторів. У ньому знову знайдеться власний вектор  оператора  . І т.д.

Продовжуючи зазначену процедуру, отримаємо ортогональний базис  простору  , Складений з власних векторів оператора  . Залишається нормувати цей базис.

У цьому базисі матриця лінійного оператора буде мати діагональний вид [2]. ?

 




УДК 512.8 1 сторінка | УДК 512.8 2 сторінка | УДК 512.8 3 сторінка | УДК 512.8 4 сторінка | УДК 512.8 5 сторінка | Евклідові та унітарні простору. | Ізоморфізм унітарних просторів. | Лінійні функції. | Ермітовим (самосопряженних) оператори. | Кососімметріческіх оператори. |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати