загрузка...
загрузка...
На головну

Зв'язані оператори.

  1. Вирази. Оператори.
  2. Кососімметріческіх оператори.
  3. Невід'ємні лінійні оператори.
  4. Нормальні оператори.
  5. Оператори. доповнення
  6. Ортогональні оператори. Визначення, приклади, властивості

Побудуємо по кожному лінійному оператору  мірного унітарного простору  оператор  , Сполучений даному. виберемо в  вектор  і розглянемо функцію  змінної  . Ця функція є лінійною. дійсно

З іншого боку  , де  по теоремі з попереднього параграфа визначається однозначно за функцією  , Т. Е. По и  . Таким чином, при фіксованому  для кожного  є єдиний вектор  . оператор  називається зв'язаних к  , Т. Е.

Покажемо, що для кожного  спряжений оператор  визначається однозначно. Припустимо, що існує оператор  , Такий що  , тоді

.

Неважко переконатися в тому, що спряжений оператор  є лінійним. дійсно

.

значить .

Відзначимо наступні властивості сполученого оператора:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Доведемо перша властивість.

 . Інші властивості доводяться аналогічно.

якщо  квадратна матриця порядку  , То матриця  , Отримана з  заміною всіх її елементів на комплексно-сполучені і подальшим її Транспонированием, називається пов'язане транспонованою. Т. е. Якщо  , то .

ТЕОРЕМА. Якщо лінійний оператор в ортонормированном базисі має матрицю  , То спряжений оператор матиме в цьому базисі пов'язане транспоновану матрицю.

ДОВЕДЕННЯ. Нехай в унітарній просторі  заданий ортонормованій базис , А матриці операторів и  в цьому базисі будуть відповідно  , Т. Е. Для будь-яких

;

.

Домножим першу рівність справа на  , отримаємо

 , отже  . ?

Приклад 1. лінійний оператор  заданий в евклідовому просторі в базисі з векторів  матрицею

.

Знайти матрицю сполученого оператора  в тому ж базисі, вважаючи, що координати векторів базису дані в деякому ортонормированном базисі.

Рішення. координати векторів  задані в деякому ортонормированном базисі  . Матриця переходу від к  буде

.

значить,  , де  матриця того ж оператора в ортонормированном базисі. Звідки .

знаходимо

.

тоді

.

Матриця сполученого оператора  буде за попередньою теоремою пов'язане транспонованою, а так як оператор заданий в евклідовому просторі, то просто транспонованою.

.

Повертаємося до вихідного базису

 




УДК 512.8 1 сторінка | УДК 512.8 2 сторінка | УДК 512.8 3 сторінка | УДК 512.8 4 сторінка | УДК 512.8 5 сторінка | Евклідові та унітарні простору. | Ізоморфізм унітарних просторів. | Унітарні оператори. | Ермітовим (самосопряженних) оператори. | Кососімметріческіх оператори. |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати