загрузка...
загрузка...
На головну

Евклідові та унітарні простору.

  1. V. Визначення ймовірності і непевного простору.
  2. Базис лінійного простору. Визначення і найпростіші властивості
  3. Сприйняття простору.
  4. Сприйняття простору. Сприйняття простору включає в себе сприйняття форми, величини, а також відстані до предметів і між ними.
  5. Геометричні теореми в евклідових просторах
  6. Державні і муніципальні унітарні підприємства
  7. Державні і муніципальні унітарні підприємства

поняття  мірного лінійного простору  , Дане в § 3.1 [1], далеко не в повній мірі узагальнює поняття площині або тривимірного евклідового простору: в  не визначені ні довжина вектора, ні кут між векторами. Тому неможливо розвиток багатої геометричній теорії. Виявляється, що положення може бути виправлено шляхом введення поняття скалярного множення векторів. В курсі аналітичної геометрії воно визначається за допомогою довжин векторів і кута між ними, але, як виявляється, і довжина вектора, і кут між векторами в свою чергу можуть бути виражені через скалярні твори. Визначимо тому в будь-якому  вимірному лінійному просторі поняття скалярного множення, причому визначимо аксіоматично, за допомогою деяких властивостей, якими, як добре відомо, скалярне множення векторів площини або тривимірного простору насправді володіє.

Будемо говорити, що в  вимірному дійсному лінійному просторі  визначено скалярне множення, якщо будь-якої парі векторів  поставлено у відповідність дійсне число, що позначається символом  і зване скалярним твором векторів и , причому виконуються наступні умови (тут  будь-які вектори простору ,  будь-яка дійсна число):

I.

II.

III.

IV. якщо  , То скалярний квадрат вектора  строго позитивний,

Відзначимо, що з III при  слід рівність

 (1)

т. е. скалярний добуток нульового вектора на будь-який вектор  дорівнює нулю; дорівнює нулю, зокрема, скалярний квадрат нульового вектора.

З II і III негайно випливає наступна формула для скалярного твори і лінійних комбінацій двох систем векторів:

Якщо в  вимірному дійсному лінійному просторі визначено скалярне множення, то це простір називається  мірним евклідовому простором.

ЗАТВЕРДЖЕННЯ 1. при будь-якому в вимірному лінійному просторі можна визначити скалярне множення, т. е. можна перетворити цей простір в евклідів.

ДОВЕДЕННЯ. Справді, візьмемо в просторі  будь-який базис  . якщо

то покладемо

 (2)

Легко перевіряється, що умови I - IV будуть виконані, т. Е. Рівність (1) визначає в просторі  скалярне множення. ?

Ми бачимо, що в  вимірному лінійному просторі скалярне множення можна задати, взагалі кажучи, багатьма різними
 способами - визначення (2) залежить, зрозуміло, від вибору базису, а ми поки що не знаємо, крім того, не можна ввести скалярний множення і будь-яким принципово іншим способом. Нашою найближчою метою є огляд всіх можливих способів перетворення  мірного дійсного лінійного простору в евклідів простір і встановлення того, що в певному сенсі для всякого  існує одне-єдине  мірне евклідів простір.

Нехай дано довільну  мірне евклідів простір  , Т. е. в  вимірному лінійному просторі довільним способом введено скалярне множення. вектори и  називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю,

З (1) випливає, що нульовий вектор ортогонален до будь-якого вектору; можуть існувати, однак, і ненульові ортогональні вектори.

Система векторів називається ортогональної системою, якщо всі вектори цієї системи попарно ортогональні між собою.

ТЕОРЕМА 1. Будь-яка ортогональна система ненульових векторів лінійно незалежна.

ДОВЕДЕННЯ. Нехай, справді, в  дана система векторів  причому и

 (3)

якщо

то, скалярно множачи обидві частини цієї рівності на вектор  отримуємо:

Звідси, так як  по IV, випливає  що й потрібно було довести. ?

Опишемо далі так званий процес ортогоналізації, т. Е. Певний спосіб переходу від будь-якої лінійно незалежної системи з  векторів  евклидова простору  до ортогональної системі, також складається з  ненульових лекторів; ці вектори будуть позначені через .

покладемо  , Т. Е. Перший вектор системи (  ) Увійде і в нерухомість, що будується нами ортогональную систему. Покладемо, далі,

Так як  а вектори и  лінійно незалежні, то вектор  відмінний від нуля при будь-якому числі . Підберемо це число з умови, що вектор  повинен бути ортогонален до вектору :

звідки, з огляду на IV,

Нехай вже побудована ортогональна система ненульових векторів  ; додатково припустимо, що для будь-якого  вектор  є лінійною комбінацією векторів  Це припущення буде виконуватися тоді і для вектора  якщо він буде обраний у вигляді

вектор  буде при цьому відмінний від нуля, так як система (  ) Лінійно незалежна, а вектор  не входить в запису векторів  . коефіцієнти  підберемо з умови, що вектор  повинен бути ортогонален до всіх векторах

звідси, так як вектори  ортогональні між собою,

т. е.

Продовжуючи цей процес, ми побудуємо шукану ортогональную систему .

Застосовуючи процес ортогоналізації до довільного базису простору  , Ми отримаємо ортогональную систему з  ненульових векторів, т. е., так як ця система по доведеному лінійно незалежна, ортогональний базис. При цьому, використовуючи зауваження, зроблене в зв'язку з першим кроком процесу ортогоналізації, а також враховуючи, що всякий, ненульовий вектор можна включити в певний базис простору, можна сформулювати навіть наступне:

ЗАТВЕРДЖЕННЯ 2. Будь-яке евклидово простір володіє ортогональними базисами, причому будь-який ненульовий вектор цього простору входить до складу деякого ортогонального базису. ?

Надалі важливу роль буде грати один спеціальний вид ортогональних базисів; базиси цього виду відповідають прямокутним декартових систем координат, що використовуються в аналітичній геометрії.

назвемо вектор нормованим, якщо його скалярний квадрат дорівнює одиниці, тобто. е.

якщо , звідки  , то нормуванням вектора  називається перехід до вектору

вектор  буде нормованим, так як

базис  евклидова простору  називається ортонормованим, якщо він ортогонален, а все його вектори нормовані, т. е.

 (4)

Приклад 1. Привести систему векторів

до ортонормированном увазі.

Рішення. Застосуємо до вказаних векторах процес ортогоналізації.  вектор  шукаємо у вигляді

 Підставляючи значення, отримаємо  далі шукаємо  тут  Після підстановки, маємо:

Залишилося нормувати систему .

Отже,  шукана ортонормированном система.

ЗАТВЕРДЖЕННЯ 3. Будь-яке евклидово простір володіє ортонормированном базисі.

ДОВЕДЕННЯ. Досить взяти будь-який прямокутний базис і нормувати всі його вектори. Базис залишиться при цьому ортогональним, так як при будь-яких и  з  слід

?

ТЕОРЕМА 2. базис евклидова простору тоді і тільки тоді буде ортонормованим, якщо скалярний добуток будь-яких двох векторів простору дорівнює сумі творів відповідних координат цих векторів в зазначеному базисі, т. е. з

 (5)

слід

 (6)

ДОВЕДЕННЯ. Дійсно, якщо для нашого базису виконуються рівності (4), то

Назад, якщо наш базис такий, що для будь-яких векторів и  , Записаних в цьому базисі у вигляді (5), справедливо рівність (6), то, беручи і якості и  будь-які два вектори цього базису и  , Різні чи однакові, ми з (6) виведемо рівності (4). ?

Зіставляючи отриманий зараз результат з викладеним раніше доказом існування  мірних евклідових просторів для будь-якого  , Можна висловити наступне:

ЗАТВЕРДЖЕННЯ 4. Якщо в вимірному лінійному просторі  обраний довільний базис, то в  можна так поставити скалярне множення, що в отриманому евклідовому просторі обраний базис буде одним з ортонормованих. ?

евклідові простору и  називаються ізоморфними, якщо між векторами цих просторів можна встановити таке взаємно однозначне відповідність, що виконуються наступні вимоги:

1) це відповідність є ізоморфні відповідністю між и  , Які розглядаються як лінійні простори;

2) при цьому відповідно зберігається скалярний твір; іншими словами, якщо образами векторів и  з  служать відповідно вектори и  з  , то

 (7)

З умови 1) відразу випливає, що ізоморфні евклідові простору мають одну і ту ж розмірність. Доведемо зворотне твердження:

ТЕОРЕМА 3. Будь-які евклідові простору и , Що мають одну і ту ж розмірність  , Ізоморфні між собою.

ДОВЕДЕННЯ. Справді, виберемо в просторах и  ортонормированном базисі  і відповідно, .

Ставлячи у відповідність кожному вектору  з  вектор  з  , Що має в базисі  ті ж координати, що і вектор  в базисі  , Ми отримаємо, очевидно, изоморфное відповідність між лінійними просторами и  . Покажемо, що виконується і рівність (7): якщо

то, в силу (6):

 . ?

Природно ізоморфні евклідові простору не брати до уваги різними. Тому для будь-якого  існує єдине  мірне евклідів простір в тому ж сенсі, в якому для будь-якого  існує єдине  мірне дійсне лінійний простір.

На випадок комплексних лінійних просторів поняття і результати цієї частини переносяться в такий спосіб. Комплексне лінійний простір  називається унітарним простором, якщо в ньому задано скалярне множення, причому  буде комплексним числом; при цьому повинні виконуватися аксіоми II - IV, а аксіома I замінюється наступній аксіомою:

I '.

де межа над скалярним твором позначає, як зазвичай, перехід до парному комплексному числу. Отже, скалярний твір в унітарній просторі не буде комутативним. Проте, рівність, симетричне аксіомі II, залишається справедливим.

II '.

так як

III '.

так як

IV '. Скалярний квадрат ненульового вектора  комплексного лінійного простору дійсний і строго позитивний,

Поняття ортогональности і ортонормованій системи векторів переносяться на випадок унітарних просторів без будь-яких змін. Як і вище, доводиться існування ортонормованих базисів у всякому скінченномірному унітарній просторі. При цьому, однак, якщо  ортонормованій базис і вектори  мають в цьому базисі розкладання  , то

нехай  елемент унітарного простору  . число  називається довжиною вектора в цьому просторі. Тільки нульовий вектор має довжину, рівну нулю.

ТЕОРЕМА 4. Для будь-яких двох векторів  мірного унітарного простору має місце нерівність Коші - Буняковского

причому рівність досягається лише в разі, коли вектори и  лінійно залежні.

ДОВЕДЕННЯ. Досить довести це нерівність для векторів, відмінних від нуля. Розглянемо  . Перетворюючи ліву частину, отримаємо

.

покладемо  , Після підстановки в нерівність і домноженія на  , отримаємо

.

Враховуючи що  , маємо

.

якщо  , Т. Е. и лінійно залежні, то має місце рівність. Рівність досягається і в тому випадку, коли один з векторів нульовий (в цьому випадку система так само лінійно залежна). ?

З нерівності Коші - Буняковського легко випливає так зване «нерівність трикутника для векторів», а саме:

.

дійсно,

,

де  ціла частина комплексного числа  . Так як

 , то

 . ?

Величиною кута між двома відмінними від нуля векторами и в  вимірному евклідовому просторі називається число ,  , Певне умовою

З нерівності Коші - Буняковського випливає, що кут  (в межах  ) Однозначно визначено. При цьому  (Т. Е. Вектори и  перпендикулярні або ортогональні між собою) тоді і тільки тоді, коли .

 




УДК 512.8 1 сторінка | УДК 512.8 2 сторінка | УДК 512.8 3 сторінка | УДК 512.8 4 сторінка | Лінійні функції. | Зв'язані оператори. | Нормальні оператори. | Унітарні оператори. | Ермітовим (самосопряженних) оператори. | Кососімметріческіх оператори. |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати