Головна

Гармонія золотих пропорцій 5 сторінка

  1. 1 сторінка
  2. 1 сторінка
  3. 1 сторінка
  4. 1 сторінка
  5. 1 сторінка
  6. 1 сторінка
  7. 1 сторінка

Однак не виключено, що на малюнку 15 зображені дві площини, на яких проведені промені від l и l', Пересічні в точці S. При цьому промені площині, на якій знаходиться пряма l, покривають частину променів площині, на якій знаходиться пряма l', Що відзначено на рис. 63, затемненням площині АSД. Схема, отримана на рис. 63, з опорою на евклидову геометрію, зумовила появу спотворення при заміні прямих точками нарис. 64. Малюнок виконаний в даній роботі вже з урахуванням того, що на рис. 63 зображено перетин площин в точці S, І промені, що знаходяться під верхньою площиною виконані штрихованої (в роботі [27] вони не штрихованої). На цьому малюнку видно, що пряма S є слідом перетину площин, на яких знаходяться точки L и L'.

 Від цих точок немає логічного переходу до прямої s і тому «гармонійні» відрізки на прямий S отримані випадковим чином, а не перенесені з рис. 63 і тому не можуть вважатися гармонійними. Наявність гармонійних відрізків на рис. 63 і має бути її суттєвою ознакою. Відсутність чотирьох гармонійних точок прямої s свідчить про те, що фігура на рис. 64 не є відображенням фігури рис. 63. Та й позначення точок на ній просто перенесені з прямою l Мал. 63, тоді як повинно бути: Ао, Во, Со, До. Таким чином, проведена операція заміни прямих точками і навпаки не може вважатися коректною і швидше представляє не заміну прямих точками, а точок прямими, а виконаний з спотворенням поворот елементів фігури рис.63 на деякий кут. При цьому пряма s нанесена на площину під деяким кутом, прямі l и l'Входять в цю площину під прямим кутом, а промені а, b, з, д ... і А', b', с', д'..., Тільки виглядають входять в точки L и L', Залишаючись гармонійними на видимих ??з торця прямих l и l'.

Відзначимо ще раз, що на кожному з малюнків 63 і 64 зображені, як мінімум, два види фігур. За кожним променем, що виходить з деякої точки на прямій, може розташовуватися інший промінь і, можливо, не один, який може проявити себе, коли пряма перетворюється в точку і навпаки. Тому в опорній точці S (Рис. 63) можуть сходитися чотири просторових променя, що розділяють базисні прямі l и l'На гармонійні відрізки. прямі l и l' не просто прямі, а прямі базисні і відображають вони гармонійні точки базисної площини, площини - всі крапки якої невласні. І промені-прямі, "вихідні" з точки опори S, не перетинають їх, а лише зазначають ті місця базисної площини, яких вони стосуються. І, отже, на малюнку 63 відображено перенесення базисної прямий l в пряму l'. Інший варіант, на статичній геометрією, в точці S перетинаються дві поверхні, на яких розташовані прямі l и l', Від яких до точки перетину сходяться по дві пари променів. І щоб замінити евклидову точку на пряму, досить припустити, що пряма на рис. 63 «входить» в площину. «Поворот» площині на деякий кут виявить наявність цієї прямої.

У статико-динамічної геометрії опорну точку Дезарга перетворити в пряму неможливо. Це не фігура статичної геометрії. Більшість точок Дезарга утворюються в візуально видимому конусі променів, що сходяться в точку під «гострим» кутом. Ніякі повороти площини не відобразяться на плотностних точках Дезарга, вони тільки «переміщують» ці точки на іншій градус щодо площині. Але точка Дезарга може бути представлена ??у вигляді безлічі точок розташованих на невласною площині і утворюють базисну пряму. І на цю базисну пряму, за принципом подвійності, можна перенести гармонійне пропорціональність чотирьох точок з будь-якої прямої, наприклад, з l або l'. Отже, прямі l и l'На рис. 63 виявляються не Евклідовому, а базисними прямими. При заміні їх точками вони перетворюються в базисні точки опори L и L'.

Відзначимо, що відповідно до статико-динамічної геометрії, точка S на рис. 63 є опорною точкою, а прямі l и l'Базисними прямими пропорціонірованнимі четвіркою гармонійних точок. На цьому малюнку, аналогічномріс. 56, відображена деформація відстаней між гармонійними точками, обумовлена ??видаленням базисної Прямій точки опори S. Природно, що з початкового стану l в миттєвому процесі цього переміщення відбувалося незліченну кількість «ривків» і «зупинок» перш ніж було досягнуто положення l'. Адже це ми, на свій розсуд, проявили тут перший і останній кадри пройшли деформацій. І в цих кадрах незримо, що не проявлено в рухомому відображенні, присутні як елементи фігурної системи: і коло, і трапеція, і дотичні і поляра, незалежно від того зображені вони на рис.63 чи ні.

Тепер маючи початковий варіант фігури рис. 63 можна замінити точку опори S множиною опорних точок утворюють пряму s на невласною площині (рис. 65.). пряма s стає новою базисної прямий, на яку і слід перенести з прямою l або l'Гармонійну четвірку крапок. Для проведення цієї операції необхідно в будь-якій зручній точці простору вибрати допоміжну точку опори S1 (Оскільки весь простір утворено невласними точками) і від неї через точки А, В, С, Д або А', В', С', Д'Провести промені до перетину з базисної прямий s (Показано штрихами). Отримуємо на базисної прямий s новий ряд гармонійних точок Ао, Во, Зо, До (Рис. 65). Замінюємо базисні прямі l и l'На опорні точки L и L'Розташовані навпроти своїх прямих (правильніше - розташованих на своїх віртуальних прямих, оскільки прямі замінені точками в тих районах, за якими вони проходили) і з'єднуємо їх променями з точками Ао, Во, Со, До. Побудова закінчено. Два точкових ряду А', В', С', ДАо, Во, Зо, До приведені у відповідність пучків прямих точок L и L'.

Новоутворена здвоєна фігура (дві похилих проективних піраміди) виявляється подібної двом кадрам піраміди Дезарг (вертикальної і похилої), відображеної на (рис. 59), тільки зображена вона під базисної прямий. А це, мабуть, означає, що дана фігура представлена ??двома кадрами, які зображують стан проективної піраміди в різні проміжки часу. При цьому кадр з вершиною L передує кадру з вершини L', Переміщалися ці вершини по певній траєкторії в просторі під базисної площиною. А їх підставу не піддавалося переміщенню. Найпростішою траєкторією руху вершини L може виявитися пряма з'єднує LL'.

І в той же час, якщо розглядати отриману фігуру з позицій класичної геометрії, на малюнку 65 зображено поворот двох пересічних по лінії АоДо площин з розташованими на них точками LL'І променями а, b, з, д ... і А', b', с', д'... і утворена фігура начебто повторює фігуру зображену на рис. 64, але сенс їх різний. Точка на рис. 64, будучи евклідової прямий, видимій з торця, і всі промені від базисної прямий

 потрапляють на цю пряму в різних місцях її. Точки ж на рис. 65 є невласними точками і в них сходяться всі «приходять» до них промені. Схоже, що операція заміни точок прямими, а прямих точками, супроводжувана зміною якості елементів утворюють фігуру і збереженням одного з її важливих ознак, можлива тільки в статико-динамічної геометрії.

Розглянемо відповідно до [27], спосіб знаходження перспективи перекладом одного ряду в інший:

«Отже, візьмемо пряму р і на ній точки А, В, С і Д. Виміряємо довжини відрізків АС, СВ, АТ, і ДВ. Підрахуємо складне ставлення (АВ; СД). Отримане число позначимо q. Отже,

(АВ; СД) = (| АС | ./ | СВ |) / (| АТ | / | ДВ | = q.

Візьмемо іншу пряму Р'і на ній три точки А', В', С' (Рис. 66) Проведемо пряму через точки А і А'і на цій прямій виберемо довільні точки S1 і S2, Які оголосимо центрами шуканих перспектив. Проведемо прямі S1В і S2В'і точку їх перетину позначимо Во. Потім проведемо прямі S1З і S2С'. Вони перетнуться в точці Со. точки СоВо визначають пряму u, її ми назвемо віссю перспективи. Якщо тепер провести пряму S1Д, то її перетин з віссю перспективи дасть точку. До, Причому ясно, що по властивості перспективи (АоВо; ЗоДо) = Q. З'єднаємо тепер точку До з точкою S2. На прямій Р'з'явилася точка Д'. Складні відносини (А'В'; С'Д') і (АоВо; ЗоДо) Рівні. Отже рівні і складні відносини (АВ; СД) і (А'В'; С'Д') (транзитивність!). Далі побудова можна було вести так: на прямий р взяти п'яту точку Е і, провівши S1Е, зазначивши Ео, З'єднавши Ео з S2, Отримати п'яту точку Е'на прямий Р'. Очевидно, (АВ; РЄ) = (АоВо; ЗоЕо) = (А'В'; С'Е'). Продовжуючи в тому ж дусі, ми отримаємо один проективний ряд з іншого двома перспективами».

(Візьмемо до уваги, що встановити проективне відповідність можна було б і по трьом парам гармонійних точок. Двох пар для цього недостатньо.)

 Отримана фігура (рис. 66) являє собою вид зверху і тому здається виконаної на площині. Однак наявність двох опорних точок S1и S2, Рознесених по різні боки базисних прямих, свідчить про те, що фігура утворена у просторі стве, а прямі р и р'І точки А, В, ... І А', В', ... І т. Д. На них, з'єднані променями з опорними точками, виявляються розташованими на різних площинах. Про це ж свідчить пряма, що з'єднує опорні точки. А оскільки ця пряма проходить також через точки А и А'То вони лежать на одній площині з опорними точками і площину ця перетинає всі три прямі.

З'являється дві можливості: одна - визначити конфігурацію утворену трьома прямими, а вже потім замінювати прямі і точки, інша - відразу почати заміну прямих точками, а точок прямими. Оскільки нас цікавить тільки заміна, проведемо один з її можливих варіантів (рис. 67). Спочатку замінимо опорні точки базисними прямими s1 и s2 будь-якого напрямку зручного для перенесення на них складного відносини чотирьох точок. Потім замінимо одну з прямих опорною точкою, наприклад, Р і проведемо від неї промені (показано штрихами) через точки або прямої u, або прямий Р' (Залишені точки без індексації) до перетину з прямою s2 в точках А1, В1, С1,

Д1. Після цього можна замінити решта прямі u, и Р' точками U и Р'. Потім з точок А1, В1, С1, Д1 прямий s2 через, наприклад, точку U проведемо промені до перетину з прямою s1. Утворилися на прямий s1 точки А2, В2, З2, Д2 і складуть четвірку гармонійних точок. Далі повторимо аналогічну процедуру з точкою Р', Провівши через неї промені або з точок А1, В1, С1, Д1 А1 прямий s2, Або з точок А2, В2, З2, Д2 прямий s1 (Остання операція не відображена на малюнку 67). Побудова закінчено. За допомогою заміни точок прямими і прямих точками два проектних ряду отримані двома перспективами

4.5. гармонійне просторове

пропорціональність

Гармонійним пропорціональність можна назвати таке пропорціональність, яке обумовлює параметрам будь-якого об'єкта, що проектується сукупну відповідність з параметрами Землі. (Сукупна відповідність - взаємопов'язана відповідність по висоті, ширині і довжині.) На перший погляд здається, що пред'являється вимога до пропорционирования об'єкта, щонайменше, завищено, бо розміри кожного об'єкта несумірні з розмірами Землі. І ця вимога нездійсненно. Але це з першого погляду.

Відзначимо: система соізмерітельная інструментів, що забезпечує пропорціональність параметрам Землі будь-яких об'єктів, що зводяться використовувалася на Стародавньої Русі і у багатьох інших древніх народів. Вона представляла собою комплекс соізмерітельная інструментів - сажнів і на сьогодні втрачена. Зокрема на Русі існував «всемеро» з п'ятнадцяти сажнів перевідкриття А. Пілецький (див. Додаток 2). Методика обриси об'єктів за даними сажням повністю втрачено і тільки починає відтворюватися. Головне в ній те, що сажні НЕ вимірювальні, а соізмерітельная інструменти, і всі вони між собою пропорційні золотому числу Ф. Тому спорудження, проектоване по комплексу сажнів, спочатку закладалися в золотих пропорціях, а розмітка обсягів проводилася так, що висота розбивалася сажнем одного розміру, ширина - сажень іншого розміру, а довжина - третього розміру. В результаті будівництво кожного об'єкта велося в гармонійних золотих пропорціях, т. Е. В тих параметрах, які пропорціоніровани параметрам Землі.

У даній роботі не будемо зупинятися на методах гармонійного проектування і будівництва, дещо про це можна знайти в [23], тут же якісно познайомимося з деякими проектними способами проведення пропорционирования фігур на площині і в просторі. При цьому треба пам'ятати, що вихідним пунктом будь-якого гармонійного пропорционирования є використання золотих пропорцій. Гармонійне пропорціональність це завжди пропорціональність на основі золотих пропорцій. У проекті будівництва об'єкта висота, ширина і довжина повинні бути виконані пропорційно золотому числу або золотим числам, т. Е. Відповідно до методу проектування на основі давньоруських сажнів.

Зупинимося на можливості гармонізації фігур в статико-динамічної геометрії. Ще раз відзначимо, що в проективної полудінаміческі геометрії фігури пропорціоніровани спочатку як системи, здатні кадрувати деформуватися в процесі переміщення в просторі. І хоча всі деформації будуть постійно відбуватися пропорціонірованно, і кожен кадр зміни фігури, наприклад, чотирьох точок, в русі називають гармонійним, це не завжди відповідає дійсності. Гармонійне пропорціональність деформації елементів кожного кадру фігури відбувається тільки тоді, коли висота і ширина (для площині), і довжина (для обсягу) вихідної фігури проектувалися за соізмерітельная інструментам, що містить золоті числа. Всі інші пропорції не призводять до отримання гармонійного відносини. Оскільки об'ємне пропорціональність по золотим пропорціям ще не усталене і не застосовується в проективної і нарисної геометрії, розберемо кілька прикладів пропорционирования фігур на площині.

Основне завдання статико-динамічної геометрії - знаходження елементів фігур, пропорціонірованних в золотих числах, і забезпечення можливості перенесення цих пропорцій на будь-який елемент зовнішньої фігури. Вище показані два способи проведення гармонійного пропорционирования як відрізка АВ, так і базисної прямий точками N и М: Методом піраміди Дезарга і методом паралельних Евкліда. Обидва способи дають аналогічні результати і відрізняються лише трудомісткістю їхнього виконання. Обидва способи починаються з вибору відрізка АВ і розподіляється виходячи в довільному відношенні точкою N - Слідом поляри. І тільки дві точки на цьому відрізку можуть зумовити появу золотих пропорцій. Природно, що в проектуванні фігур або об'єктів ці точки можуть проявити себе тільки при цілеспрямованому виборі. Не зупиняючись на описі використання золотих пропорцій, наведемо приклад пропорционирования перенесення в просторі плоскої фігури.

Розглянемо побудову на поверхні плоскої або об'ємної фігури і пересування її в просторі способом пропорционирования. Проведемо базисну пряму р і виділимо на ній відрізок АТ, Який довільно розділимо на три частини точками В и С (Рис. 68). Отримали деякий аналог чотирьох гармонійних точок. Поставимо довільну точку S, З'єднаємо її променями з точками А, В, С, Д, І подивимося, що ж вийшло. Можна припустити, що тут зображено проективна піраміда в якій точка В проекція поляри на базисну пряму, а точка Д полюс цієї поляри. Однак для такої гострої фігури полюс знаходиться неприродно близько. Можна зробити інше припущення: фігура складена з двох пересічних проективних пірамід АSВ и ВSД, Кожна з яких включає поляра, а полюса у них - відсутні. Нарешті можливий і третій варіант: на фігурі зображена чотиригранна піраміда, яка перебуває на горизонтальній площині.

Припустимо, що це чотиригранна піраміда і в довільному місці перетнемо її площиною. Пронумеруємо кути утворилася майданчики 1, 2, 3, 4, і звернемо увагу на те, що кожна сторона отриманого чотирикутника утворює зі сторонами піраміди трапеції: А12В, В23D, D34С, С41А. Вище було показано, що продовження даху кожної трапеції перетинає базисну пряму, утворюючи на ній свій полюс. Поява полюса свідчить про те, що всередині кожної трапеції існують діагоналі, а разом з ними і віртуальна поляра. Проявимо поляра, наприклад, у ребра АSВ, Для чого проведемо в трапеції діагоналі і через їх перетин проведемо пряму - полярний SL (Показано штрихами). Далі проведемо промені від дахів до перетину базисної прямий в точках Е, F, G, Н і відзначимо, що будь-який спосіб піраміди супроводжується деформацією всіх її елементів, але точки полюсів при цьому свого становища не змінюють і тому стають реперами. Скориставшись цією обставиною, поставимо довільно нову точку опори Sо. З'єднаємо її прямими з точками А, В, С, D і перенесемо на неї майданчик 1234. Перенесення можна зробити двома способами: довільним способом і пропорційно займаному нею місця. Для отримання майданчика за першим способом слід в потрібному місці поставити на одне з ребер похилій піраміди АSоD точку, наприклад, 1 'і, з'єднавши її променями з реперами Е и G', отримати боку 1'2' і 1'4'. Далі з'єднавши променями точку 2'з репером F і точку 3'з репером Н отримати боку 2'3' і 3'4'. Шукана майданчик 1'2'3'4' побудована.

Щоб залишити все елементи піраміди АSоD пропорційними АSD, необхідно провести дві допоміжні прямі. Однією з'єднати вершини S и S1, А іншу S1K - Провести перпендикулярно першої. Потім перпендикулярно прямий SоK перенести з піраміди АSD точки 1, 2, 3, 4 на ребра піраміди АSоD отримати точки 11, 21, 31, 41 і з'єднавши їх прямими, знайти шукану майданчик. Можна нахилити піраміду і вправо, наприклад, в точку опори S1 провести побудова піраміди аналогічно вищевикладеному.

Може виникнути необхідність пропорційного перенесення майданчика 1234 під базисну площину піраміди. Оскільки перша точка шуканої майданчика може вибиратися довільно, її ставлять на продовженні будь-якого ребра, наприклад, точку 2о на продовженні ребра  і променями з'єднують з реперами Е и Н (Рис. 68). Промені перетинають продовження ребер АS и SD в точках 1о і 3о. Тепер, поєднуючи променями точки 1о и G, Отримуємо точку 4о, З'єднавши її з точкою 1о, Знаходимо шукану майданчик 1о2о3о4о. Отримана майданчик є видом зверху з базисної площини.

Просторове пропорціональність і перенесення плоских і об'ємних фігур в рамках піраміди добре відомий і застосовується в нарисної геометрії. Але в ній використовується метод пропорционирования щодо зрушеною базисної прямий або площині.

Реперний спосіб пропорционирования, схоже, невідомий і не застосовується. Природно, що фігури, пропорціонірованние обома методами, повинні бути конгруентними. Покажемо це на прикладі пропорционирования тієї ж майданчики 1234.

На базисної площини р побудуємо прямокутну піраміду з підставою АВСD і з вершиною S (Рис. 69). Розсічений її площиною 1234. Кожне ребро площині можна уявити як дах деякої трапеції. Перенесемо променями на базисну поверхню р реперні точки Е, F, G, Н, Від кожної даху. Поведемо іншу базисну площину р'І продовжимо грані піраміди до перетину з нею в точках А', В', С', D'. Проведемо через вершину S і точки Е, F, G, Н промені до перетину з р'В точках Е', F', G', Н'. Реперні позначки перенесені на нову базисну площину.

Тепер можна поступати двома способами: або, як це викладено в нарисної геометрії, вибрати довільну вершину S1 і провести від неї промені до перетину з р. Або відразу ж поставити на одне з ребер піраміди якусь точку площині, наприклад 1. Виберемо вершину S1 і проведемо від неї промені (показано штрихами) через точки 1, 2, 3, 4 до перетину з р в точках 1 ', 2', 3', 4'. Потім з вершини S проведемо промені через точки 1 ', 2', 3', 4'до перетину з площиною р'В точках 11, 21, 31, 41. Можливість пропорційного перенесення майданчика тисячі двісті тридцять чотири на інше місце підготовлена. Тепер з'єднаємо променям точку S1 з точками 11, 21, 31, 41 і перетин їх з ребрами А?S, В?S, С?S, D?S пронумеруємо точками 1о, 2о, 3о, 4о. Поєднавши отримані точки прямими отримаємо шукану майданчик 1о2о3о4о. Тепер через точки 2о і 1о, Проведемо промінь до перетину з площиною Р'. Луч пройде через репер Е'. Провівши аналогічну операцію з точками 2о і 3о, Отримаємо репер Н', З точками 3о і 4о, Отримаємо репер F', З точками 1о і 4о, Отримаємо репер G'(Показано на рис. 69 штрихами.).

Таким чином, «майданчики» 1о2о3о4о, Перенесена методом нарисної геометрії і методом реперів, виявляються конгруентними.

Не будемо зупинятися на пропорционирования об'ємних фігур методом реперних відміток, оскільки він в принципі повторює спосіб пропорціональність площин. Покажемо на закінчення метод гармонійного пропорционирования винесених на оптимальну відстань за початкову фігуру інших плоских або об'ємних фігур. Цей метод істотний тому, що на сьогодні, схоже, відсутній спосіб перенесення однієї фігури пропорційно інший і гармонійного поєднання об'єктів за площею, висотою і об'ємом.

Тому забудови міст по висоті, розташуванням в просторі і конфігурації об'єктів представляють потворне, ангармонічності нагромадження будівель, що спотворює структуру Землі і разлагающе чинне на психічне здоров'я людини.

Ще раз відзначимо, що гармонійними спорудами вважаються такі об'єкти, які по висоті, ширині і довжині пропорціоніровани в золотих пропорціях. Просторове розміщення гармонійних об'єктів передбачає також використання не вимірювальних, а соізмерітельная інструментів, тих же сажнів, як для архітектурного проектування, так і для розміщення їх на місцевості.

Покажемо на одному прикладі пропорційне переміщення фігури з одного місця на інше, розташоване поруч. Для цього відкладемо на базисної прямий відрізок АВ = 6 см і розділимо його точками А, В, N, D на три частини (рис. 22.), причому точка N ділить А D в крайньому і середньому відношенні. з точки N відновимо перпендикуляр - полярний, на якій визначаємо точку опори S віддалену від підстави на величину, наприклад, рівну 9 см. Поєднавши точку S з точками А и D знаходимо піраміду АSD, По якій і буде пропорціонірована сусідня фігура. Далі слід визначити відстань від піраміди до сусідньої фігури. Воно повинно бути кратним золотому числу, наприклад АВ : 2,618 = 3,5 см.

Побудова пропорціонірованной фігури, віднесеної від піраміди на відстань 3,5 см, починаємо з проведення другої базисної прямий р', Паралельної першої. Оскільки належить пропорціоро- ний «перехід» піраміди АSD на нове місце, то слід цю піраміду «нахилити», перенісши її точку опори, наприклад, в точку Sо. І з неї через точки А, В, N, D провести промені до перетину з р'В точках А', В', N', D'. Тепер відкладемо від точки А відрізок А Dо = 3,5 см і через точку Dо з точки D'Проведемо промінь, на якому в довільному місці поставимо опорну точку S1. з'єднаємо точку S1 променями з точками А', В', N'І в місці перетину р'Отримаємо точки Ао, Во, Nо підстави похилій піраміди АоS1Dо. бажана піраміда АоS1Dо пропорційна по вурфу піраміді АSD. Це можна показати графічно. Раніше було показано, що промені від дахів всіх трапецій пропорціонірованних по вурфу пірамід сходяться в одній точці М. Знайдемо цю точку для піраміди АSD. Для цього на поляра візьмемо довільну точку К і от А и D проведемо через неї промені до перетину з ребрами АS и SD в точках Е и F. пряма EF - Дах, спроектуємо її на базисну пряму р і отримаємо полюс М. Відзначимо, що для всіх пропорціонірованних пірамід відстань від правої точки опори до полюса буде завжди однаковим і рівним .

Щоб переконатися в цьому побудуємо аналогічну дах для піраміди АоS1Dо і продовжимо її до перетину з р в точці Мо. Заміри відрізок DоМо і отримуємо, що відстань ДМ = DоМо. Додатково перевіримо це явище. Поставимо ще одну точку опори S2 і з'єднавши її з точки Во, Dо отримуємо ще одну піраміду пропорційну А1S2Dо. Визначимо на ній дах ЕоFо проведемо від неї промінь до перетину з р. Луч перетнув р в точці Мо. Таким чином вурфную пропорційність пірамід АоS1Dо и АSD можна вважати доведеною.

Коротко розглянемо особливості фігури званої «теорема Паскаля». Ось як вона описується [27]:

«Впишемо в будь-конічний перетин (для проективної геометрії різниці між ними немає) довільний (Довільний ?? - Авт.) шестикутник (див. рис. 71, на якому сторони пронумеровані). Продовжимо тепер до перетину першу і четверту, другу і п'яту, третю і шосту боку. Отримані прямі обов'язково перетнуться, бо паралельних в проективної геометрії немає (?? - Досить сумнівну заяву - Авт.). Отже, ми маємо три точки перетину трьох пар прямих. Взагалі кажучи, три довільні точки площини не лежать на одній прямій, але ці три - Лежать. В цьому і полягає теорема Паскаля. Якщо тепер проектувати конічний перетин разом з шестикутником, з точками перетину його сторін і з прямою, що проходить через ці три точки (її називають Паскалева прямий), на іншу площину, то, як би не змінювався конічний перетин і вся конфігурація, зазначені три точки все одно будуть лежати на одній прямій. Теорема Паскаля - проективна теорема».




УДК 524,8 10 сторінка | Лобачевського і Рімана 1 сторінка | Лобачевського і Рімана 2 сторінка | Лобачевського і Рімана 3 сторінка | Лобачевського і Рімана 4 сторінка | Лобачевського і Рімана 5 сторінка | Арифметика рядів Фібоначчі | Гармонія золотих пропорцій 1 сторінка | Гармонія золотих пропорцій 2 сторінка | Гармонія золотих пропорцій 3 сторінка |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати