На головну

Гармонія золотих пропорцій 2 сторінка

  1. 1 сторінка
  2. 1 сторінка
  3. 1 сторінка
  4. 1 сторінка
  5. 1 сторінка
  6. 1 сторінка
  7. 1 сторінка

трикутник АNВ носить назву золотого статечного трикутника оскільки відношення його сторін пропорційні числу Ф = (1,272)2 = 1,618. Якщо, наприклад, взяти, що у золотого трикутника менший катет дорівнює Ф1 = АN = 1,618 (см), то інший катет дорівнює Ф2 = ВN = 2,618 (см), а гіпотенуза Ф3 = АВ = 4,236 (см). І, отже, за процесом розподілом відрізка в крайньому і середньому відношенні може ховатися відображення на горизонтальній площині геометричної фігури - золотого

прямокутного трикутника зверненого прямим кутом N до математику. А процес ділення виявляє точку сходження катетів цього трикутника і довжину його висоти NN'= b, А тому і її розмірність (см).

Рівняння (3.31) і (3.32) в цьому випадку можуть ставитися до кожного з подібних трикутників, і матимуть, наприклад, такий вигляд:

b'= (А'+ с') / С'= с'/ А',

b2 = (а + з) / А = з2? а2,

при b = b',

спільно описуючи не розподіл відрізка в крайньому і середньому відношенні, а існування на площині здвоєного золотого трикутника.

Будемо вважати, що пояснення наявності пропорцій (3.31) і (3.32), і наступного з них рівняння Піфагора, знайдено. Але тепер, коли виявилося існування, щонайменше, двох фігур в одному місці, виникає питання, а не ховаються там ще й інші фігури, що доповнюють знайдені? Тим більше, що алгебраїчне рішення рівняння (3.33) дає два значення числа Ф: Ф = 1,618 і Ф = 0,618 і тільки одне з них відображається малюнками 49, 50. Можливо, це свідчить про те, що отримана фігура золотого трикутника є одним з можливих варіантів рішення і не можна виключити, що існують інші фігури, які відображають два значення величини Ф. Тому продовжимо розгляд можливості відображення відрізком АВ інших фігур. Пошукаємо інші варіанти.

Можна припустити, наприклад, що точка N є точка дотику двох суміжних кіл. Побудуємо обидві окружності (рис. 51), для чого повторимо побудова двусмежного квадрата АВСД і знаходження точки N. Проведемо діагоналі в двусмежном квадраті (показано штрихами) і розділивши частки АN и ВN навпіл проведемо циркулем окружності Б и Б1, З радіусами R и r. Звернемо увагу на ту обставину, що діагональ СВ двусмежного квадрата АСDВ є дотичною до кола Б. Якщо ж тепер «повернути» окружність Б1 навколо ТТ ' як навколо осі на 180о, То зайнявши частину окружності Б, Вона виявляється дотичній до іншої діагоналі двусмежного квадрата - СВ.

Проведемо в кожному з квадратів по діагоналі АS и , Отримавши трикутник АSВ, І відновимо з центрів кіл перпендикуляри до перетину їх з колами. точки Е, F перетину радіусів R и r c колами Б и Б1лежатимуть на діагоналях АS и , Т. Е. На сторонах рівнобедреного трикутника (рис. 51). Якщо ж з'єднати точки перетину E и F прямий, то отримаємо різнобічну трапецію O1EFO2. Діагоналі цієї трапеції перетинаються на перпендикуляр, відновленому з точки N. Якщо припустити, що трапеція може «рухатися» деформуючись всередині трикутника АSВ, При постійному зіткненні радіусів зі сторонами трикутника АSВ, То при її «рух» вліво або вправо, нижня частина трапеції залишатиметься незмінним. А радіуси кіл, інші сторони і діагоналі будуть пропорційно деформуватися таким чином, що точка перетину діагоналей трапеції буде завжди знаходитися на перпендикуляре,  відновленому до діаметру через точки дотику кіл N. І, отже, елементи трапеції та кола, на які вона «опирається» взаємопов'язані Всі елементи фігури, окрім нижньої основи деформуються пропорційно, при «переміщенні» в площині рівностороннього трикутника АSВ. На малюнку 51 зафіксовано ту мить руху, коли радіуси кіл відносяться один одному пропорційно числу Ф:

R/r = 1,618 ..., r/R = 0,618 ....

Виходять ті ж величини відносин, які витягуються з рішення рівняння (3,33). І тому не можна виключити, що і фігура на рис. 51 теж має якесь відношення до поділу відрізка в крайньому і середньому відношенні, коли точка поділу є точкою дотику кіл або точкою перетину діагоналей різнобічної трапеції. Однак і в цьому випадку відсутній размерностная величина b, оскільки відношення радіусів не надається размерностной величиною.

Відзначимо, що наявність двох суміжних кіл, (або сферичних утворень?) Дотичних в одній нейтральній точці як би моделює в статиці структуру гравітаційних полів небесних тіл. (Наприклад, структуру Сонця і однією з її планет, що мають в якості нейтральної «точки» - зону однаковою напруженості своїх гравітаційних полів.). І структуру молекул (наприклад, структуру молекули води) і атомів мікросвіту і т. Д. (Рис. 19)

Таким чином, процес ділення «прямий» в крайньому і середньому відношенні за рівнянням (3.31) можливо виявляє існування на горизонтальній площині однієї з описаних вище фігур (трьох паралельних прямих, двох різновеликих квадратів із загальною стороною, двусмежного квадрата, двохдотичних кіл) або, за рівнянням (3.35) здвоєного золотого трикутника з висотою b.

До того ж, як випливає з (3.35), розподіл «відрізка» в крайньому і середньому відношенні включає в себе не тільки видиму (виявлену частину операції - роздвоєння первинного відрізка, і результату - появи двох часток-відрізків), але і приховану, невидиму її частина (поява прямокутного трикутника і його катета |NN'| = b). Невидима частина може містити прямокутний трикутник, з перпендикуляром. Не виключено існування і інших фігур: прямокутників, трапецій, трикутників і кіл (сфер?). Т. е. однією операцією з двох дій з розподілу відрізка на дві частини обумовлюється можливість появи декількох різних фігур, відсутніх за умовами завдання. Ця обставина свідчить про існування в геометрії прихованих фігур (параметрів) і неминучості двоїстих результатів деяких рішень (нижче буде показано існування прихованих фігур, наприклад, в проективної геометрії). До того ж елементи всіх утворених на рис. 49-51 фігур виявляються пропорціонірованнимі (як би квантовими) золотому числу Ф або членам числового поля російської матриці (про це далі).

Звернемо увагу ще на одну дуже важливу обставину. На появу на ріс.51 рівнобедреного трикутника АSВ і трапецій, як зовні фігури - АСДБ, Так і - всередині рівнобедреного трикутника O1EFO2. Крапка S рівнобедреного трикутника, що лежить на колі, як буде показано далі, може виявитися невласною точкою Дезарга, здатної переміщатися по поляра і, отже, сторони трикутника АSВ можуть набути статусу паралельних прямих. Наявність же трапеції всередині рівнобедреного трикутника як би обумовлює якесь спонукання фігури до руху, до зміни, до деформації. Фігура трапеції на цьому малюнку є миттєвий знімок з безлічі тих, які виникають при її спільному з колами русі, вироблений в той момент, коли радіуси кіл виявилися пропорціоніровани по золотій пропорції. І головне, - в цій фігурі проглядаються елементи статико-динамічної (полудінаміческі) геометрії. Геометрії, в якій присутній «кадрувати час» (дискретизованої по миттєвостей), т. Е. Фіксуються окремі положення змінною фігури, загальна зміна якої можна пов'язати воєдино шляхом побудови ряду проміжних положень (кадрів) поступово перетворюють (деформирующих) одну фігуру в іншу. Цими перетвореннями займається проектна геометрія. Тут же відзначимо, що проектна геометрія є частиною статико-динамічної геометрії, з комплексу первинних фігур якої штучно вилучені багато структурні елементи (штучне видалення приховало ці елементи від розгляду і ускладнило розвиток проективної геометрії), і вироблялося перетворення тільки одного з них (наприклад, комплексу з чотирьох гармонійних точок). В результаті виявилося непоміченим головне, що становить основу проективної геометрії - її динамічний характер.

Поява декількох типів фігур, «базуються» на перетині відрізка в крайньому і середньому відношенні: паралельних Евкліда, Дезарга (АSВ), трикутників, трапецій і кіл обумовлює можливість побудови статико-динамічної геометрії, в якій можуть існувати як нерухомі, так і рухомі фігури різної структури, які мають властивості системи, з деформованими елементами при русі в просторі змінною щільності.

Динамічний характер проективної геометрії буде докладніше розглядатися далі, тут же зупинимося на можливості відновлення цілого відрізка, поділеного крайнім і середнім відношенням по одній з його часткою-частин. Наприклад, по більшій частці (рис. 52.).

 Для знаходження повної довжини відрізка за його здебільшого АN побудуємо на цій частині квадрат ACДN. З центру підстави квадрата О розчином циркуля проводимо окружність, для якої відрізок АN виявляється діаметром. з кута Д до центру О проводимо пряму, що перетинає окружність в точці Е. від кута А через точку Е проводимо пряму до перетину зі стороною ДN в точці F і розчином циркуля переносимо відстань FN до перетину з продовженням прямої АN (Показано штрихами) в точці В. Новоутворена лінія АВ і являє собою повну довжину відрізка до його поділу в крайньому і середньому відношенні, а відрізок ВN є його меншою частиною.

Після знаходження точки Е побудова можна провести іншим способом. через точку Е провести дотичну до перетину з продовженням діаметра АN. Точка перетину В і відсіче відрізок рівний тому, який був до поділу в крайньому і середньому відношенні.

 Проведемо побудова повного відрізка, поділеного в крайньому і середньому відношенні, по його менша частина (рис. 53.). На прямій відкладемо відрізок АN рівний меншою часткою початкового відрізка. з точки N відновлюємо перпендикуляр і циркулем переносимо на нього в точку С довжину відрізка АN. через центр Е відрізка СN проводимо пряму АЕ і переносимо циркулем на її продовження відстань ЕN. Через утворену точку Д з точки С проводимо пряму до перетину з продовженням прямої АN в точці В. Новоутворена частка  і буде здебільшого шуканого відрізка АВ.

узагальнення:

- Розподіл відрізка в крайньому і середньому відношенні може описуватися двома пропорціями (3.31) і (3.32). Перетворення цих пропорцій виявляє деякі невидимі геометричні фігури як би не мають відношення до первинних пропорціям.

- Поява в результаті перетворень (3.31) і (3.32) додаткового відрізка свідчить також про те, що фігури в динамічної геометрії є системами, у яких всі елементи взаємопов'язані. Перетворення рівняння, що описує дану фігуру в іншу форму, викликає відповідну зміну самої фігури або її елементів.

- Взаємозв'язані елементи фігур в наявності тільки в динамічних системах, а процедура розподілу відображає динаміку «переміщення» або зміни структури фігури.

Виявлення невидимих ??фігур при розподілі відрізка в крайньому і середньому відношенні не випадкове явище в російській геометрії. Воно свідчить про те, що поділ є динамічний процес, що відображає, формалізовану в систему взаємозв'язок декількох віртуальних елементів або фігур і їх «прояв» в процесі перетворення рівнянь. Аналогічні фігури і властивості пронизують всю російську геометрію. Познайомимося з ними докладніше.


глава IV

Статико-динамічна проективна

геометрія

4.1. невласні точки

Дезарга

Виявлені, в процесі розгляду завдання поділу відрізка в крайньому і середньому відношенні, фігури можуть утворювати самі або служити основою для побудови безлічі фігур будь-який з існуючих геометрій: фізичної (динамічної), статико-динамічних-чеський (схоже, біологічної) і статичних. Якщо статичні геометрії добре вивчені і, зокрема, статична геометрія Евкліда відома вже більше двох тисячоліть, то можливість існування статико-динамічної і фізичної геометрії навіть не передбачається. А тим часом розвиток основ статичних геометрій не могло обійти стороною статико-динамічну геометрію. І природно, що її елементи не могли не проявити себе при цьому розвитку. І вони проявилися. Але в такій формі, що динаміка фігур, їх деформація і рух виявилися прихованими від розгляду, а саме рух, що відбувається в рамках кадрированного часу, виявилося не виявленим. І тому статико-динамічна геометрія отримала розвиток у формі добре відомих проективних геометрій. Дуже коротко, орієнтуючись на [27], розглянемо деякі положення проектних геометрій і покажемо, що в даних геометрії «нерухомі фігури» мають властивість кадрированного руху, характерного для полудінаміческі систем.

Ще раз відзначимо, що в статичних і в статико-динамічної геометрії відсутнє час як властивість тіл і тому будь-який рух елементів і фігур статико-динамічної геометрії відображається як фіксація (стоп-кадр) їх просторового положення в невизначене мить. Самі фігури в будь-який фіксований момент часу і без листя. Зміна їх є кадрованим (як і кадрів на кіноплівці). Кадр фіксує зміну (деформацію) в процесі руху фігури в невизначене мить.

У статичної геометрії, як уже зазначалося, елементи фігур не пов'язані між собою. Вони можуть належати або належати фігурі, існують поза простором і часом і залишаються незмінними як в фігурі, так і за її межами. У статико-динамічної (полудінаміческі) геометрії все елементи фігури належать фігурі, що знаходиться між базисами (базисної прямий і точкою опори), і при зміні положення одного базису всі інші елементи фігури пропорційно змінюються (деформують). Фігура в статико-динамічної (біологічної) геометрії є окремою системою. Всі її елементи пов'язані між собою і невідривно від неї. Фігура завжди знаходиться всередині і під дією деякого плотностного анизотропного поля. Анізотропне поле утворюється як базисом, так і опорною точкою, і фігури зазвичай виявляються в плотностном поле одного з них, або обох (багатьох).

Опорна точка є деякий окреме, плотностное освіту начебто геометричній гравитирующей точки. За своїм геометричному впливу на навколишні фігури опорна точка подібна гравитирующего тілу. Фігура, яка перебуває в «поле» опорної точки, деяким чином «взаємодіє» з цим полем. Рух фігури в поле супроводжується впливом поля на фігуру, що викликають її деформацію і навпаки.

Базисом може бути або гравитирующих точка, або лінійна послідовність багатьох блізрасположенних гравітуючих точок, яка є аналогом лінії, або площину з таких же гравітуючих точок. Базисна «пряма» може являти собою лінію різної кривизни, в тому числі і окружність. Причому опорна точка або точки опори можуть перебувати як зовні кола, так і всередині її. Пропорціональність фігур і їх елементів всередині такої окружності і поза нею проводиться за загальними правилами.

Відзначимо, що можуть існувати фігури з одним базисом, при цьому другий базис як би потенційно існує на нескінченності. У цьому випадку сама фігура, разом з базисами є єдиною системою взаємопов'язаних елементів або фігур з точкою опори або без такої, «функціонуючу» в певному анизотропном просторі і структурно На основі розташування в ньому. Точка опору S - Може бути або опосередковано точкою (базисна точка), або плотностной прямий на площині, видимої з торця, і завжди є невласне точкою Дезарга. Зміна положення точки опори в плотностном просторі з одного боку утворює новий простір, відображаючи ілюзію позачасового руху. А з іншого деформує всі елементи переміщуваної фігури пропорційно структурі створюваного простору. Це властивість пропорційної зміни фігури і її елементів залежно від місця розташування точки опори зберігається і в тому випадку, коли елемент «вирізується» (виривається) з фігури, проявляючи себе як частину базису. І його деформація при переміщенні самого елемента або точки опори розглядається незалежно від фігури, з якою він вилучений, але за законами пропорционирования фігури. Більш того, сама фігура в цьому випадку теж деформує разом з вирізаним елементом, але в прихованій формі і процес цієї деформації можна відтворити, якщо навіть невідома початкова форма фігури, але збереглася хоча б частину її елементів.

Можливість розгляду пропорционирования окремо взятих елементів фігури при їх переміщенні в плотностном поле опорної точки і базису і послужила основою виникнення проективної геометрії, - геометрії, яка описує переміщення і деформації, вирізаних з фігур одиничних елементів. У ній, як уже згадувалося раніше, розглядається гармонійне ставлення четвірки точок, «вихоплених» з деякої фігури. Однак за гармонійним пропорціональністю точок ховається пропорціональність відрізків, які знаходяться між цими точками. Самі ж відрізки є елементами прихованих фігур, які «випали» від розгляду на початковому етапі побудови проективної геометрії і тому виявилися не затребуваними в її основах. Познайомимося в загальних рисах з обставинами, котрі зумовили появу прихованих фігур та гармонізацію відношенню четвірки точок.

Почнемо з паралельних, які при їхньому перспективному продовженні (т. Е. В русі, яке ніколи не закінчується), на горизонті (на нескінченності) сходяться в точку, як би перетинаються. Зрозуміло, що точки перетину немає, що це умовність і паралельні залишаються паралельними на нескінченності, але ефект як би існує і Дезарг запропонував вважати точки уявного «перетину» паралельних в геометрії проекціями «нескінченно віддалених» точок. Більш того, він також запропонував вважати нескінченно віддалені точки перетину прямих - невласні точки, рівноправними всім іншим точкам. Таким чином, як то кажуть в [27]: « ... Дезарг доповнює (!? Авт.) Евклидово простір новими елементами: невласними(Нескінченно віддаленими) точками, А також ще і площиною, на якій лежать всі невласні точки, - невласною площиною. ... І пропонує вважати нескінченно віддалені точки рівноправними (з усіма іншими) точками».

Перш за все, Дезарг НЕ доповнює евклидово простір, оскільки таке тут не існує, а утворює своє, вводячи невласне простір і невласні точки, і отримуючи анізотропне плотностное простір. Постулировав існування невласною точки, Дезарг тим самим стверджував наявність в геометрії плотностного центру - основи аксіоми про динамічні паралельних. Центр - точку, в яку входять паралельні як би з'єднуючись в своєму нескінченному русі. Точка «перетину» паралельних на площині є плотностная точка динамічної геометрії. Точка, з наближенням до якої простір, що оточує її, ущільнюється, стаючи проективним аналогом природного простору, що складається з фізичних точок різної щільності (ефіру). Тим самим він, неявно, постулював існування плотностного простору і абсолютно нового геометричного якості - щільність, невідомого в геометрії Евкліда. Прийняте Дезаргом рівноправність точок перетину паралельних з точками евклідової геометрії, що не перебувають на нескінченності, анулювало якість Плотностние і формально перетворило ці плотностние анізотропні точки, в ізотропні точки евклидова простору, якими можна було оперувати за законами статичної геометрії. Рівноправність невласних точок з Евклідовому точками приховала їх динамічний характер.

Це «додаток евклидова простору» рівнозначними невласними точками інесобственним простором вимагало зміни уявлення про геометричному просторі, про точку, про взаємозв'язки елементів фігур і про можливість руху в статичній геометрії. Однак перегляду не було. Постулювання невласних точок і площин зумовило появу нової статичної проективної геометрії. У ній паралельні прямі відсутні. ( «У Дезарга дві прямі однієї площини завжди перетинаються. обмежень ніяких»[26]).

Повторимося - оскільки, за визначенням, паралельні прямі перетинатися не можуть, то постулирование їх перетину вносить в неявній формі в евклидову геометрію суперечить їй якість -кадрірованное рух. Якість, яке свідчить про уповільнення фізичного часу при русі до Плотностние центру і повністю змінює структуру статичної геометрії, обумовлюючи зростання «Плотностние» простору до області «перетину паралельних прямих». В результаті изотропное евклидово простір автоматично, крім нашого розуміння і бажання, стає простором анізотропним, простором, деформуючим тіла, що поміщаються в нього при переміщенні з однієї області в іншу. І ця зміна якості евклидова простору призвело до появленіюгеометріческогодвіженія і до деформації фігур і їх елементів, не помічених сучасниками:

По-перше, тому, що в проективної геометрії розглядалося переміщення не фігур, а точок, які в русі не деформуються. Характерний приклад - «гармонійна четвірка точок». При переміщенні їх в просторі проективної геометрії, відрізки між точками змінюються гармонічно, а це зміна формулюється як відношення між точками.

По-друге, тому, що рух, за сучасними уявленнями, відбувається тільки в безперервному часу, а час в статичної геометрії відсутня за визначенням.

По-третє, не передбачалася навіть можливість динамічних змін геометричних фігур.

По-четверте, перетворення і деформація фігур в проектному просторі було підмінено так званим складним ставленням чотирьох точок, За яким ховалося відношення відстаней між точками, а не точок, і за цими точками існування геометричних фігур в просторі навіть не проглядалося. поняття «складне ставлення чотирьох точок»Теж введено Дезаргом як найпростіша величина, що зберігається при проектуванні, т. Е. Є інваріантом проективної геометрії.

Повторимося, - постулирование перетину паралельних на нескінченності означає введення в статику елементів динамічного геометрії. Для «досягнення» точки «перетину» паралельних на нескінченності їм доводиться рухатися в змінюваному плотностном просторі. Т. е. переміщатися в іншому просторовому якості, вносячи в статичну геометрію елементи динаміки. При цьому паралельні динамічної геометрії не перетинаються, а «входять» в Плотностние точку динамічної геометрії і нікуди з неї не виходять. Саме плотностная точка і є фізичним аналогом невласною точки Дезарга. До того ж існування невласною точки не є фактом перетину паралельних, а тільки свідченням якогось зближення ліній на горизонті в процесі нескінченного руху вглиб щільності, сприйманого як плотностная точка. І тому невласні точки ніколи не можуть бути рівноправними і рівнозначними з геометричними точками, оскільки невласні точки існують як відображення в геометрії плотностной тілесності простору. Невласні точки - породження динамічної аксіоми про паралельних. Вони суть свідоцтва нескінченного кадрированного геометричного руху фігур в плотностном поле, яке і є час. З їх введенням в геометрію остання якісно змінюється. Статична геометрія Евкліда набуває динаміку, а разом з нею і нове проективне простір, - плотностное анізотропне простір, в якому фігури і їх елементи, переміщаючись, деформуються, т. е. взаємодіють з простором.

З появою невласних точок і площин, що зумовили можливістю переміщення базисних фігур, в геометрії з'явилася і можливість переміщення окремих елементів; точок, відрізків, фігур, причому таким чином, що наявність фігур, в які ці елементи входили, ставало непомітним, прихованим. І існування таких прихованих фігур зберігається протягом усього існування проективних геометрій. Розглянемо, як це сталося, які фігури виявилися прихованими, і які наслідки зумовило існування невласних точок в геометрії.

4.2. приховані фігури

статико-динамічної геометрії

Зупинимося на процесі появи чотирьох точок на прямій. У попередньому розділі коротко описано цей процес і показано наявність кола, поляри ТТ'' З відміткою N на діаметрі АВ і полюса М на продовженні діаметра (рис. 54). Разом з точками А і В, що лежать на перетині прямої окружністю, виходить тільки дві пари точок: Одна на окружності А и В, А друга - полюс М і крапка N перетину діаметра з полярой ТТ'. Розгляд і обмежується чотирма точками на прямій А, N, В, М. Відзначимо ще раз головне: ставлення довжин відрізків АN и дорівнює відношенню довжин відрізків АМ и ВМ.

АN/NВ = АМ/ВМ (4.1)

Точки цього відносини, N и М, Поділяють відрізок АВ гармонійно і спільно називаються гармонійної четвіркою точок. наголосимо, чтоцентр окружності, побудованої на діаметрі АВ, Не входить в структуру проективної геометрії і не  є не тільки гармонійної, але і значущим елементом проективної фігури. І все переміщувані відрізки з чотирма гармонійними числами, не включають в себе центр окружності як деяку відстань, гармонійне іншим її відрізках. Незмінним залишається кількість точок на прямій і її єдиний полюс - М. Підкреслимо ще раз - в проектній геометрії на прямий існує єдиний полюс М. І цей полюс не має відношення до постаті. Ні сама фігура, ні її елементи не поширюються на інші напрямки простору, що збіднює і робить односторонньою всю структуру проективної геометрії. І тому сама фігура (рис. 54) залишається «однобокою» і асиметричною.

на рис. 55 ці елементи, що зумовлюють утворення чотирьох гармонійних точок, доведені до симетричного виду і показані в своїй повноті. На ньому показано, що гармонійних точок виявляється не чотири, а, щонайменше, п'ять. додалася точка М1. У центрі кола під прямим кутом перетинаються базисна пряма на якій розташований діаметр АВ, І поляра ТТ'. через точки А и В проходять евклідові паралельні прямі (на рис. 55 зображено штрихами). прямі АS и , Як і АS1 и S1В є паралельні Дезарга. Вони «перетинаються» на нескінченності в точках S и S1 на поляра, і тому ці точки є невласними плотностнимі точками. Утворені фігури, подібні трикутники АSВ и АS1В, Симетричні щодо базисної прямий (рис. 55). Вони можуть бути названі проективними пірамідами.

поляра ТТ'- Геометричне відображення на площині зони однаковою Плотностние між паралельними. Фізично ж поляра є область простору, в якій плотностние параметри двох паралельних збігаються. Це свого рада нейтральна зона між ними. Вона існує, поки існують «плотностние» паралельні. Зсув поляри як нейтральної зони до однієї з паралельних означає, що інша паралельна має велику Плотностние. Крапка S добре відома в проективної геометрії, але відома як центр проекції, а не як невід'ємний елемент поляри ТТ '. Вона - невласна точка на поляра полюсів М и М1, Названа вище точкою опори. Точка опори S - базисна точка, точка, яка не має центру, плотностное простір статико-динамічної геометрії, в яку з усіх боків сходяться паралельні промені.

 Через точки перетину поляри ТТ' з колом на нескінченність проведені дотичні (показано штрихами). На нескінченності дані дотичні теж «перетинаються» на базисної прямий і точки їх перетину стає невласними точками, - полюсами серії М. Їх розташування теж симетрично. Т. е. На нескінченності полюс М змінює свою якість і в цьому випадку виявляється не просто точкою, а невласне точкою Дезарга. І нескінченна, на якій розташований відрізок АВ і крапка М, Стає свого роду многоточечной, нерухомою полярой. Це дуже важлива обставина, що не зазначене в проективної геометрії, змінює уявлення як про чотирьох гармонійних точках, так і про структуру проективної геометрії.




УДК 524,8 7 сторінка | УДК 524,8 8 сторінка | УДК 524,8 9 сторінка | УДК 524,8 10 сторінка | Лобачевського і Рімана 1 сторінка | Лобачевського і Рімана 2 сторінка | Лобачевського і Рімана 3 сторінка | Лобачевського і Рімана 4 сторінка | Лобачевського і Рімана 5 сторінка | Арифметика рядів Фібоначчі |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати