На головну

УДК 524,8 1 сторінка

  1. 1 сторінка
  2. 1 сторінка
  3. 1 сторінка
  4. 1 сторінка
  5. 1 сторінка
  6. 1 сторінка
  7. 1 сторінка

© А. ф. Черняєв, 2004.

преамбула

Справжня робота, присвячена діалектичному обгрунтування нового математичного напряму - «фізичної геометрії», є спробою об'єднання декількох геометричних ідей, висловлених автором в останньому десятилітті ХХ століття. Ідеї ??ці, хоча й базувалися на законах діалектики, і ставилися до одного розділу математики, були розрізненими, уривчастими, і тому досить складними для розуміння. Діалектичне обгрунтування їх проводилося недостатньо переконливо, та й ставлення математиків (як і фізиків) до діалектики, залишає бажати кращого.

Математики, схоже, впевнені в тому, що закони діалектики незастосовні до математики, оскільки математика наука абстрактна і кількісна, має справу з знеособленими числами, а діалектика грунтується на якісних категоріях. Математика виявляється єдиною наукою, в якій категорія «якість» практично відсутній. Вважається, що всі математичні операції (включаючи рух) є числові бескачественності перетворення, що не змінюють якості чисел і безвідносні до них. Сама ж математика - формальна наука про кількісний зміні числових величин, що не містять в собі ніякого якості. А тому діалектика не входжу до апартаменти, в яких панує математика. Виходить так, що для філософів математика чужий монастир. Не випадково діалектики протягом тисячоліть намагаються обходити стороною його зміцнення, вибухаючи, час від часу, тирадами гносеологічних залпів, які прагнуть довести «підпорядкованість» математики законами діалектики. Ця боязнь математичного формалізму і зумовила математики особливий статус абстрактної, незалежною від філософії науки. Навіть Гегель, розуміючи математику як науку про кількісні величинах і числах, не помітив у кількісних закономірності математики внутрішньої діалектики її якісних основ і надовго «законопатити» філософам вхід в храм математики, охарактеризувавши нескінченну послідовність натурального числового ряду «поганою нескінченністю».

І ця нескінченність залишатиметься «поганий» до тих пір, поки ми не побачимо за кожним математичним числом, поняттям або аксіомою їх якісну складову. Тобто те, що і є основою діалектичного аналізу, то, без чого будь-яка наука, включаючи математику, залишається гносеологічно заплутаною, позасистемної і поверхневої реєстрацією окремих кількісних або якісних проявів, що не зводиться до однієї системи взаємопов'язаних знань.

Особливість російської (динамічної) геометрії і полягає в тому, що вона, на наш погляд, перша з математичних наук, яка грунтується на діалектичних законах і розвивається не як абстрактна дисципліна, а як дисципліна, повністю базується на практиці. Більш того, у неї відсутні навіть передумови можливого «віддалення» від практики, оскільки вона спирається на динаміку реальних фізичних процесів.

Однак історія показує, що й існуючі статичні геометрії мали своєю основою саме практику вимірювання предметів і земельних ділянок. Але вже в Давньому Єгипті і, особливо в Стародавній Греції, геометрія перетворилася в «дедуктивну» науку, що грунтується на кількох найпростіших аксіомах, які не потребують доведення. Аксіоми і емпіричні елементи визначили в кінцевому підсумку статичну форму відображення геометрією кількісних відносин оточуючих реальних предметів. Що і стало в подальшому атрибутом усіх геометричних побудов.

Робота починається з повернення в математику понять - «ціле», «окреме» і «безпочаткове», з подальшим розглядом діалектичних основ сучасної математики в застосуванні до математичних і геометричних понять і зокрема з аналізу деяких принципів і аксіом, на яких ґрунтуються геометрії Евкліда, Лобачевського і Рімана.

Відомо, що геометрія як наука була узагальнена Евклидом, і його твори, що включають 13 томів під назвою «Начала», містили інтегроване виклад всіх знань про геометрію, напрацьованих античної наукою. Однак сенс «Почав» полягає не тільки у викладі аксіом і що випливають із них теорем. «Начала» містять в неявному вигляді підхід до вчення про статичної або актуальної нескінченності, з переважною опорою на її статичність.

Статичність актуальної нескінченності, з блиском викладена Евклідом, на тисячоліття постулировала самої геометрії статичність, повністю виключила навіть можливість подання про геометрію як про предмет, що вивчає динамічний простір, застопорила вивчення потенційної нескінченності, стала гальмом у розумінні діалектики природи. Вона породила інші початку - «Математичні початки натуральної філософії» І. Ньютона.

«Почала ...» Ньютона блискуче розвинули і закріпили в класичній механіці принципові положення евклідових «Почав», прибравши з механіки її основу, - взаємодія рухомих тіл з простором, а, отже, і сам простір.

Тому, коли виявилася троїстість аксіоми про паралельних (формулювання Евкліда, Лобачевського, Рімана), не було зроблено припущення про те, що ця потрійність виник не випадково, а наслідок окремих проривів в динаміку простору. У простір руху як взаємодії речових тіл з речовим простором. І хоча термін «динаміка» прижився як розділ механіки, що вивчає рух тіл в залежності від діючих на них сил, він має й інший сенс - рухливості, мінливості, дієвості, напруженості. В останньому сенсі термін «динаміка» і вживається в даній роботі.

Оскільки динамічний простір має відношення до вивчення руху і взаємозв'язку просторових властивостей і тел в умовах потенційної нескінченності, то його опис здійснюється шляхом зіставлення зі статичними структурами актуальної нескінченності.

Слід зазначити, що і поняття актуальної нескінченності і поняття потенційної нескінченності є суб'єктивізація існуючої природної нескінченності. Про властивості і рух цієї нескінченності нам нічого не відомо, але без відображення цих властивостей наші теорії обходитися не можуть.

Іншою особливістю російської геометрії є опора в формалізації взаємозв'язку природних властивостей на золоті пропорції. Вивчення золотих чисел і золотих пропорцій стає модним науковим напрямом. Однак в цьому напрямку основним залишається вивчення взаємозв'язків між золотими числами і опис явищ, в яких зустрічаються золоті пропорції. Відповідей на питання: «Які фізичні фактори описуються золотими пропорціями? Про що свідчить розподіл відрізка в крайньому і середньому відношенні? »І т. Д. Ще немає. Тому золоті пропорції залишаються екзотичним додатком до науки і ще не знаходять широкого застосування ні в математиці, ні у фізиці.

Російська геометрія повністю побудована на золотих пропорціях. Сама система золотих чисел зведена в матриці, названі класом російських матриць, взаємозалежність між числами яких виявляється основою теорії фізичної розмірності. При цьому з'ясувалося, що всі фізичні властивості тіл володіють особливими якісними параметрами числового поля російської матриці, названі коефіцієнтами фізичної розмірності, що зв'язують їх в єдину систему і зумовлюють формалізацію фізичних рівнянь. Остання обставина докорінно змінює уявлення про взаємозв'язок фізичних властивостей і формує єдиний математичний апарат опису взаємодії природних властивостей у всіх розділах фізики.

Відкриття фізичної геометрії показало, що існує ієрархія геометрій по можливості відображення ними природних процесів. Геометрії в цій ієрархії діляться на три предмети:

Фізична (динамічна) геометрія.

Статико-динамічна (полудінаміческі) геометрія.

Статичні геометрії.

Виявилося також, що статико-динамічні геометрії добре відомі і давно вивчаються. Але вивчаються як проектні розділи статичної геометрії. У них був упущений елемент кадрированного часу, наслідком чого і стало одностороннє розгляд предмета проективної геометрії.

Робота включає п'ять глав.

Глава I: Діалектика математики.

Глава II: Динамічні властивості геометрії.

Глава III: Золоті пропорції геометрії

Глава IV: Статико-динамічна проективна геометрія.

Глава V: Елементи фізичної геометрії.

глава I

діалектика математики

1.1. Ціле і окреме в пізнанні

наше розуміння цілого відповідає розумінню його, викладеному в сутре з «Ішавасья - упанішади»:

«Ом. Тобто ціле, це теж ціле.

Бо тільки ціле народжується з цілого:

і коли ціле віднімається від цілого,

дивіться, залишок є ціле.

Ом Шанті, Шанті, Шанті! »

Для подальшого розуміння найбільш істотним буде:

1. всі названі далі цілі є аналоги цілого;

2. відсутність в цілому відносин, що народжують як якість-властивість, так і множинність.

Людина намагається пізнати ціле, Перетворюючи його в єдине шляхом поділу на того, хто пізнає і пізнаване. цим рухом створюється таке якість-властивість, як відношення. А оскільки вихідне відношення - це відношення двох (суб'єкт і об'єкт), то виникає і кількість (два) при якісному звучанні одного (два народжують одного). У цьому містика чисел у Піфагора і їх абсолютизація в сучасній математиці.

Створення відносин всього і з усім є основний спосіб пізнання і основне якість-властивість людського розуму.

поняття «ціле», Є основою науки так само, як і основою релігії, але в такому значенні в даний час практично не усвідомлюється. Воно відображає в собі все те, що містять в нерозривній вигляді матеріальний і духовний світи. У цьому значенні «ціле»Належить до підстав філософії.

Наука, як і її окремі дисципліни, виходить з реальності матеріального світу, що представляє собою ціле іншої якості, оскільки виключає духовний світ. Різні напрямки науки досліджують випадково виділені властивості-якості, «перетворюючи» ціле в єдине. Математика вивчає кількісні аспекти властивостей, випускаючи з уваги єдине.

Так що ж являє собою «Єдине» з позицій сучасної науки?

єдине - Це самодвіжімое сукупне всіх властивостей, що не має ні початку, ні кінця. Це взаємозв'язок незліченної кількості властивостей, що утворюють багаторівневу субстанцію - матерію.

Матерія - це ціле, «частка» загального, проявившее себе через чуттєво сприймається рух. Тобто єдиним незалежним від суб'єкта (спостерігача) якістю проявленого єдиного є чуттєво сприймається рух. Решта якості матерії визначаються як результат відносини, що виникає при взаємодії двох тіл. Тут тіло при відсутності відносин є ціле в розумінні Вед: окреме як відношення, і єдине як об'єкт пізнання. Матерія, для свого прояви, повинна володіти постійним самодвижением типу пульсації. Саморух є атрибутом єдиного. Звідси, рухом, що не вимагає двох, може бути тільки пульсація кожного (будь-яких) з матеріальних тел.

Пульсація як процес, через розширення і стиснення носить діалектичний характер. таке рух як неминучість при зміні циклу проходить через припинення руху (через нерухомість). Нерухомість - це непроявлене єдине, яке недосяжне для його проявленого стану. Тіло як сукупність проявленого і непроявлену виникає в момент переходу матеріального тіла через нерухомий стан при пульсації.

Тому розуміння тілесності (матеріальність, матеріальності) доповнюється ще одним поданням субстанції, а саме:

Будь-яке тіло це ціле, таке ж ціле, як і весь світ. Окремість йому створює спосіб існування, який носить самопрінудітельний характер і залежить від того, що кожне тіло в одному циклі проходить процес виникнення і зникнення.

Покажемо якісно на прикладі Землі (рис. 1) точки діапазону існування тіла в процесі пульсації. У найпершому наближенні Земля пульсує приблизно так само, як і гумова куля, в якому штучно і поперемінно змінюється тиск. В такт зміни тиску відбувається періодичне збільшення і зменшення радіуса кулі. І так само як у кулі, в процесі пульсації Землі виникають дві точки зупину пульсації: в той момент, коли радіус кулі стає найбільшим 1 і найменшим 2.

Мал. 1

У момент «зупинки» матеріальна поверхню Землі як би «зникає», оскільки матерія без руху не існує. І всякий останов є момент «Неіснування» матерії, Т. Е. Поверхні земної кулі (оскільки все повністю зупинилося ні з чим не взаємодіє, нічим не відображається і, отже, відсутня для всього). Все, що є в природі і на Землі, пристосоване до цього багаторівневому процесу. В такт пульсації Землі все живе на ній також «пірнає» в небуття (в ніщо), Змінюючись з виникненням (з початком нового циклу пульсації), і, отже, забезпечуючи своє матеріальне буття. Цим «пірнанням» знімається «напруга», що виникає у всіх тілах за рахунок їх еволюції (зростання, пульсації, розширення), так як еволюція вимагає зміни матерії, а простору для зміни немає, і тому змінюватися і рости нікуди. І для того, щоб процес еволюції відбувався, необхідно всьому «здригнутися», «розширитися», точніше частково «разуплотніться», обумовлюючи, що розвиваються (розростається) тілам можливість розсування разуплотнівшейся матерії і освіти умов подальшого зростання. І це все також входить в поняття цілого. Відзначимо, що в світі окремого (в світі тел), статика відсутня, а всі, що відчувається як статика, є ще не усвідомлена динаміка.

Людина, - мисляче жива істота, будучи двоїстим освітою (тіло + душа), підпорядковується законам як проявленого, так і непроявленого цілого.

Відзначимо, що основу мислення людини становить мову, який базується на певних поняттях і словниковому запасі, які дискретно. Ця структура і визначає дискретність нашого мислення. Навчання дитини мові одночасно стає «дискретизацией» світу, затвердженням як би окремо всіх тіл, предметів і явищ шляхом їх мовної символізації. Тому реальний світ з дитинства закріплюється в мисленні як що складається з окремих частин і подій, т. Е. Стає спочатку дискретним. Наступні спроби усвідомлення (подання) цього світу як цілого виявляються можливими тільки за допомогою «зрушення» разом окремих тіл, предметів, подій (як частин світу). І в нашому усвідомленому уявленні і навіть в інтуїтивному відчутті виникає розуміння цілісності як сукупності частин, «склеєних» туманним поняттям «зв'язку». «Зв'язки» та обумовлюють штучно сформованому світу ілюзію цілого.

Для розуміння подальшого необхідно застосовувати як самостійні такі поняття: Ціле, окреме, єдине.

де:

ціле - Це те, що не має частин і відносин;

окреме - Це окремі предмети або об'єкти, теж ціле всередині, а зовні поверхню як відношення.

єдине - Це сукупність частин або цілих, що володіють якістю і кількістю.

Метаморфоза, яка переводить матеріальне ціле в окреме і далі в єдине, що складається з частин, властивостей, відносин відбувається в момент, коли людина фіксує щось (тіло, предмет і т. Д.), Відрізняючи його від навколишнього фону - цілого. Ця фіксація складається з декількох послідовних операцій:

а) виділення тіла з фону (цілого) як окремого створенням відносини;

б) впізнавання окремого методом аналогії;

в) найменування (позначення словом - символом), перетворення в єдине;

г) наділення цільовим ознакою, корисним для людини.

Наприклад, геолог в русі фіксує світловий спалах. Обертається і розрізняє блискуче тіло (а), наближається до нього і бачить камінь (б), який визначає як кварц (в). Він знає, що кварц - мінерал, який можна використовувати у виробництві (г).

.

1.2. Окреме як ціле

Будучи цілим, людина, єдине з істот, що населяють Землю, втратив відчуття цілісності себе і, як результат, не в змозі сприймати цілісність світу.

Парадокс людського мислення полягає в тому, що людина намагається прімисліть неможливе двоїсте:

- Відокремити себе цілком від усього іншого, не помічаючи, що тим самим переходить в якість дискретності - окремого;

- Зберегти свою цілісність з усім іншим, т. Е. Перебувати в якості суцільності.

Втрата відчуття цілісності світу людиною є наслідок його становлення як особистості, його виділення з природи, його его. Дуалізм суб'єктивного сприйняття себе людина цілком переносить на Світ, нав'язуючи йому свої власні відчуття і уявлення.

Покажемо приблизну схему того, як це відбувається.

Всі психологи знають, що дорослішання людини носить не стільки фізіологічний характер, скільки психологічний і по суті своїй закінчується як процес разом з усвідомленням себе особистістю, т. Е. В неявному протиставленні свого Я решті світу: Я існую як окремість, і наслідок цієї окремо - Виникнення антропоцентризму:

Я є міра всіх речей.

існую Я і навколишній світ.

Був час, коли мене не було, і буде час, коли Я зникну.

І Т. Д. і Т. П. ...

Звідси перенесення на світ:

Світ складається з окремих речей (Тел, об'єктів).

кожне тіло відокремлено від іншого тіла. (Має свою форму, свої властивості і т. Д.).

Кожне тіло колись виникло і колись зникне.

Все в житті підпорядковане часу, яке однонаправлено.

І т. Д. Кожен може продовжити з кожного рядка.

Звідси, першим тілесним якістю стає окремість. Окремість (дискретність) нашого світу є результат внутрішньої проекції нашого розуму. Це не більше ніж перенесення на зовнішнє (зовнішній світ) моменту усвідомлення свого Я. Не мир спочатку складається з отдельностей, а виникнення внутрішньої окремо переносить це відчуття на зовнішній світ. Тому, щоб отримати принципово іншу картину світу, потрібно цю проекцію прибрати. Психологічно в буденності це важко, але саме на дискретності (окремо) ґрунтується вся система математичного наукового мислення. Воно замінює «окремість» як тілесне якість безразмерностной категорією «кількість», не має ніякого відношення до реальності, обумовлюючи можливість створення таких розумових конструкцій, які нічого спільного не мають з реальністю. Суб'єкти від науки не розуміють, що в силу відсутності діалектичних знань вони, своїми конструкціями, максимально відображають своє Я. Причому незалежно від бажання. І в такій хитрій формі, що світ зникає, а Я залишається, і це Я творить, творить те, чого немає ніякого відповідності поза Я. Тобто Я творить один із проявів власного Я. Але, психологічно, Я може створити тільки 1 і / або 2 і їх комбінації. Ці цифри і виявляються в підставах арифметики. Саме тому математики з часів Піфагора базувалися на цифрі 1, не усвідомлюючи, що фактично виходять з цифри 2, яка і робить світ дискретним.

Разом з тим, в математиці числа як голою абстракції бути не може хоча б тому, що число затребується як елемент об'єднання різного окремого по одному якості - окремого, і це якість є конкретне, відокремлений і єдине для всіх предметів, то, що може бути виражено за допомогою числа або іншого знака. Тобто:

1 = 1 - якщо це окремість або якість, в тому числі і формальне (тіло, метр, кг, рубль і т. д.)

Тепер, визначившись з появою двох перших чисел арифметичного рахунку, можна поставити питання: яка операція є вихідною при побудові будівлі арифметики?

Відповідь: поділ, - тому, що в розподілі наявний ліквідація сплошности і абсолютизація дискретності.

«Я»Завжди залишається в своєму мисленні цілим (Неподільним, монолітним), а все інше не сприймається таким, т. Е. Є розділеним і, більш того, може піддаватися подальшому поділу.

Послідовність «поділу»:

 ситуація А

Мал. 2

У ситуації А об'єкт і Я = 1, як окремі. І по цій якості і тільки по цій якості їх можна прирівняти 1 = 1. У цьому прирівнювання відображається їх рівноправність, рівнозначимість т. К. Вони визначаються одним якістю «отдельностью». Але якщо Я ціле і неподільне, то зовнішній об'єкт таким не є, оскільки його можна розділити на дві частини, що показано на рис. 3, де з об'єкта на рис. 2 отримані об'єкти X і Y.

 ситуація Б

Мал. 3

Тільки в ситуації Б виникає кількість, оскільки прирівнювання 1 (Я) = 1 (об'єкт) в ситуації А є містична абсолютизація одиниці як неподільного цілого. Тому, з'явившись, об'єкт X = 1 і об'єкт Y = 1 вже несуть в собі пам'ять про попереднє поділ, що дозволяє нам робити операцію складання 1 + 1 = 2, яка неможлива для ситуації А. І ця пам'ять зростає з кожним наступним поділом як кількість .

Відзначимо, що дроблення одного цілого на незліченні «частки» - нові цілі не змінює кількості властивостей у нових цілих. Вони теж цілі, але інші - нові цілі, які включають ті ж властивості, якими володіло первинне ціле, але з іншої чисельної величиною цих властивостей і, отже, цілі іншої якості.

Всі операції дроблення Об'єкту X і / або Об'єкта Y можна строго і послідовно повторювати ще і ще раз, отримуючи в кожному випадку нові об'єкти, якісно однакові за однією ознакою - окремо. І в цій процедурі неявно, як би аксіоматично, затверджується очевидна для більшості людей (і математиків теж), але не доведена річ, а саме те, що завжди і у всіх ситуаціях існує рівність: 1 = 1, що далеко не очевидно.

Тепер, розібравшись трохи з операцією дроблення, ми отримали можливість послідовного дроблення об'єкта на частини у вигляді (рис. 4), де всюди 1 ? 1 ? 1 ? 1 ... за якістю окремо:

 

Рис.4.

Спробуємо перейти до іншої операції, до операції злиття (складання), попередньо зазначивши, що поділ об'єкта (дроблення) може проводитися в будь-якій пропорції (рис. 5), а не тільки навпіл.

З наших міркувань ми отримали певний клас об'єктів, які дорівнюють і рівноправні (рівнозначні) по одному фундаментальному ознакою - за ознакою окремо. якщо вимога окремо накласти на реально сприймається нами


Мал. 5

світ (він візуально складається з окремих об'єктів), то відразу отримуємо надзвичайно цікавий висновок:

У світі окремих речей відсутні неподільні об'єкти (більш виразно, відсутні неподільні цеглинки), і процес розподілу будь-якого тіла (окремо) ніколи не припиниться (первокирпичик не трапиться).

Відзначимо: даний діалектичний аналіз проводиться для виділення деяких математичних понять, які базуються на окремих природних якостях. Якщо ж розглядати процес дроблення об'єктів на окремо в цілому, то слід враховувати і ту обставину, що кожна утворюється окремішність є одночасно і якісно нової отдельностью, що відрізняється від інших чисельної величиною всіх своїх якостей і пам'яттю. За цією ознакою вона завжди є індивідуальністю, що не тотожною з жодною іншою індивідуальністю. Якщо ж ці обставини враховувати, то математика як наука ніколи б не виникла.

Як наслідок відсутності первокірпічіков світ окремих речей ніколи не буде пізнаний. Бо на кожному ступені концентрації зусиль з вивчення будь-якої його частини (нового цілого) буде зберігатися тотожність окремо: 1 ? 1 ? 1 ? 1 ..., тобто буде відбуватися автоматичний відкат до вихідної окремо.

Послідовність поділу складається з декількох неявних стадій:

Початковий стан (рис. 6).

Увага

Мал. 6

Суб'єкт виділяє (звертає увагу) на об'єкт Б, Якщо об'єктів багато, або відразу починає рух до Б.

Проміжний стан (зближення) рис. 7: Дія рис. 8:

 

Мал. 7 Рис. 8

І результат рис. 9.

Мал. 9

ця процедура поділу обумовлена ??ще одним діалектичним обставиною: поділ відбувається в силу неможливості злиття, Оскільки в ситуації А (рис. 2.) Я - неподільне ціле, а об'єкт Б цим якістю не володіє. Поки що розглядається світ не наділений можливістю злиття, він не диалектичен, однобічний і принципово неможливий як світ, як сукупність єдиного. Звідси і виникає необхідність введення в цей світ процесу злиття (З'єднання) об'єкта, зворотного поділу (Роз'єднання).

Але розуміння «простого» злиття приховує невеликий нюанс, до сих пір виразно не зазначені в математиці. Операція поділу супроводжується утворенням отдельностей іншої якості. Інша якість отдельностей перешкоджає їх злиття і «відновлення» колишнього цілого. Отримання колишнього цілого обумовлено створенням нових умов злиття, і може виявитися так, що не знайдеться технології відновлення колишнього цілого.

Повернемося до рис.4 і з'ясуємо, чи можливий зворотний процес, який переводить його в стан, що відображається рис. 2. Логічно це зробити неважко в наступній послідовності (послідовність дій показана на рис. 10 стрілками).

Мал. 10

Те, що зроблено, називається зближенням або поруч розташуванням. З'єднання, а тим більше злиття, відсутній з тієї причини, воно ще не введено в конструкцію. Вводячи злиття як протилежність поділу, повертаємося до конструкції рис 2 (рис. 11).

Мал. 11

З розгляду вищевикладеного отримуємо наслідок: Світ, який бачиться дискретним, що складається з окремих тіл, таким не є. У ньому присутній ще одна якість, протилежне дискретності - суцільність. Причому роль цих якостей різна:

дискретність робить світ пізнаваним, дозволяючи певною мірою виокремлювати зі світу тіла і розглядати їх як окремі об'єкти і, перш за все, виокремлювати зі світу себе (Я і все інше).

суцільність робить світ цілим, тілесним, забезпечуючи його існування, як і все, що є, так і того, чого немає, т. е. нам невідомого. І, отже, ніяк не може бути сприйнятий дискретним (окремим). У сплошности (безперервності) «окреме" Відсутнє.




ББК 22,632 | УДК 524,8 3 сторінка | УДК 524,8 4 сторінка | УДК 524,8 5 сторінка | УДК 524,8 6 сторінка | УДК 524,8 7 сторінка | УДК 524,8 8 сторінка | УДК 524,8 9 сторінка | УДК 524,8 10 сторінка | Лобачевського і Рімана 1 сторінка |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати