загрузка...
загрузка...
На головну

властивості градієнта

  1. III. Психічні властивості особистості - типові для даної людини особливості його психіки, особливості реалізації його психічних процесів.
  2. XI. Пристосування ТА ІНШІ ЕЛЕМЕНТИ, властивості. Здібностей та обдарувань АРТИСТА
  3. А. Властивості і види рецепторів. Взаємодія рецепторів з ферментами і іонними каналами
  4. Акустичні властивості фрикційного контакту
  5. Акустичні властивості фрикційного контакту в умовах автоколивань
  6. АЛГОРИТМ І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ
  7. Алгоритми (властивості, реалізація алгоритмів)

Нехай заданий градієнт поля і похідна за напрямком:

, = .

1. Максимальне значення похідною в напрямі одно модулю градієнта: ; .

2. Вектор  направлений в сторону зростання поля.

3. Вектор  завжди нормальний до поверхні (лінії) рівня поля (еквіпотенційної поверхні).

Доведення:

нехай  скалярний поле і  - Рівняння поверхні рівня. виберемо  , Яку позначимо  , І проведемо дотичну площину до поверхні, що описується рівнянням

;

 - Рівняння дотичної площини;

.

Тоді вектор нормалі дотичній площині має вигляд:

, .

Властивості 1-3 дають інваріантне (Яке залежить від системи координат) визначення градієнта, тобто стверджують, що незалежно від системи координат  вказує величину і напрямок найбільшого зростання скалярного поля в точці: max .

Диференціальні властивості градієнта:

· Якщо скалярний поле є сума двох полів

 , то .

· .

· .

·  - Градієнт складної функції.

· .

ПРИКЛАД. Знайдіть найбільшу крутизну підйому поверхні

в точці Р (2,2,4).

Рішення: max .

= .

.

ПРИКЛАД. Знайдіть нормаль до поверхні  в точці Р(1,1,1).

Рішення: По властивості 3 , , = .

ПРИКЛАД. Знайдіть градієнт функції
 (Модуль радіус-вектора).

Рішення:

P0 -фіксірованная точка, P(x,y,z) - Вивчається точка поверхні.

= =

- Одиничний вектор напрямку вектора P0P.

Наприклад, покажемо, що для  скалярної функції  , де ,  - Відстані від точки Р до фіксованих точок ,  , Лініями рівня є еліпси.

Рішення:

маємо:  , Тобто градієнт дорівнює діагоналі ромба, побудованого на ортах радіус-векторів, проведених до точки Р з фокусів и  . Нормаль до еліпсу в будь-якій точці ділить навпіл кут між радіус-векторами, проведеними в цю точку.

Фізична інтерпретація: промінь світла, який вийшов з одного фокуса, потрапляє в інший фокус.




XIII. ТЕОРІЯ ПОЛЯ | XIII. ТЕОРІЯ ПОЛЯ | скалярний поле | Поверхні і лінії рівня | Похідна в напрямі | Оператор Гамільтона (Набла) | векторні лінії | Плоске векторне поле | Односторонні і двосторонні поверхні | Площа поверхні |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати