На головну

Еліпсоїд.

Одним з основних методів вивчення поверхні, заданої своїм рівнянням, є метод перетинів. У цьому методі пропонується визначати вид поверхні по її лініях перетину з різними площинами. Розглянемо докладніше сутність цього прийому дослідження поверхні на прикладі рівняння

 , (54)

де  позитивні справжні числа.

Розглянемо спочатку лінії перетину цієї поверхні з горизонтальними площинами  , де  . У перетині, в загальному випадку, утворюється крива, яка визначається рівняннями

 . (1)

Зауважимо, що  при будь-яких значеннях и  . Отже, якщо  , Тобто  , То перше рівняння не виконується ні при яких значеннях и  . Це означає, що горизонтальні площини  , де  , Не перетинають даної поверхні (в перерізі утворюються уявні криві).

якщо  , то  і Перове рівняння з (1) справедливо тільки при  . Отже, в перетинах и  отримаємо точки и .

Нарешті, якщо  , то  . Тоді в перерізі горизонтальною площиною  , де  , Отримаємо лінію

 , (2)

де .

Рівняння (2) на площині  опеделяет еліпс з півосями и  . Отже, на горизонтальній площині  , де  отримаємо еліпс з тими ж півосями. Зауважимо, що найбільші піввісь, рівні и  , Утворюються при  . при збільшенні  від нуля до  піввісь еліпса зменшуються до нульових розмірів.

Отже, в перетинах горизонтальними площинами  при  утворюються еліпси, при  еліпси вироджуються в точки и  , при  площині не перетинають поверхню.

 
 
 рис.32


Так як рівняння (54) має симетрію щодо змінних и  , То в перетинах вертикальними площинами  , де  , і  , де  , Так само утворюються еліпси або точки.

В інших випадках вертикальні площині не перетинають поверхню.

Отримані перетину дозволяють побудувати шукану поверхню (рис.32), звану еліпсоїдом.

Зауважимо, що еліпсоїд при  перетворюється в сферу.

 




Площина. Рівняння площини по точці і нормальному вектору. | Рівняння площини по трьом точкам. | Загальне рівняння площини. | Кут між площинами. | Рівняння прямої за двома її точками. | Загальні рівняння прямої. | Кут між двома прямими. | Кут між прмой і площиною. | Точка перетину прямої з площиною. | Поверхні другого порядку. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати