На головну

МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ АНАЛІЗУ ЕКСПЕРТНИХ ОЦІНОК

  1. A) Інтенсивність поляризованого світла, що пройшло через аналізатор, прямо пропорційна квадрату кута між дозволеними напрямками поляризатора і аналізатора
  2. I. Методи вивчення кількісного та якісного складу мікрофлори шкіри рук
  3. II. Декарт Рене (1596-1650, французький філософ, математик). Рекомендував в логіці використовувати математичні методи.
  4. II. Методи розробки.
  5. II. Загальні математичні та природничо-наукові дисципліни
  6. III ЕТАП: РЕЗУЛЬТАТИ АНАЛІЗУ
  7. Lt; variant>. організація державної влади, її пристрій і методи управління

При аналізі думок експертів можна застосовувати найрізноманітніші статистичні методи, описувати їх - значить описувати всю прикладну статистику. Проте можна виділити основні широко використовуються в даний час методи математичної обробки експертних оцінок - це перевірка узгодженості думок експертів (або класифікація експертів, якщо немає узгодженості) і усереднення думок експертів всередині узгодженої групи.

Оскільки відповіді експертів у багатьох процедурах експертного опитування - не числиться, а такі об'єкти нечислової природи, як градації якісних ознак, ранжування, розбиття, результати парних порівнянь, нечіткі переваги і т. Д., То для їх аналізу виявляються корисними методи статистики об'єктів нечислової природи .

Чому відповіді експертів часто носять нечислової характер?Найбільш загальний відповідь полягає в тому, що люди не мислять числами. У мисленні людини використовуються образи, слова, але не числа. Тому вимагати від експерта відповідь у формі чисел - значить гвалтувати його розум. Навіть в економіці підприємці, приймаючи рішення, лише частково спираються на чисельні розрахунки. Це видно з умовного (т. Е. Визначається довільно прийнятими угодами, зазвичай оформленими у вигляді інструкцій) характеру балансового прибутку, амортизаційних відрахувань та інших економічних показників. Тому фраза типу "фірма прагне до максимізації прибутку" не може мати чітко визначеного сенсу. Досить запитати: "Максимізація прибутку - за який період?" І відразу стане ясно, що ступінь оптимальності прийнятих рішень залежить від горизонту планування (на економіко-математичному рівні цей сюжет розглянуто в монографії [4]).

Експерт може порівняти два об'єкти, сказати, який з двох краще (метод парних порівнянь), дати їм оцінки типу "хороший", "прийнятний", "поганий", впорядкувати кілька об'єктів по привабливості, але зазвичай не може відповісти, у скільки разів або на скільки один об'єкт кращий за інший. Іншими словами, відповіді експерта зазвичай виміряні в порядкової шкалою, або є ранжировками, результатами парних порівнянь та іншими об'єктами нечислової природи, але не числами. Поширена помилка полягає в тому, що відповіді експертів намагаються розглядати як числа, займаються "оцифруванням" їх думок, приписуючи цим думкам чисельні значення - бали, які потім обробляють за допомогою методів прикладної статистики як результати звичайних фізико-технічних вимірювань. У разі довільності "оцифровки" висновки, отримані в результаті обробки даних, можуть не мати відношення до реальності.

Перевірка узгодженості думок експертів і класифікація експертних думок.Ясно, що думки різних експертів різняться. Важливо зрозуміти, наскільки велика ця відмінність. Якщо мало - усереднення думок експертів дозволить виділити те спільне, що є у всіх експертів, відкинувши випадкові відхилення в ту або іншу сторону. Якщо велике - усереднення є чисто формальною процедурою. Так, якщо уявити собі, що відповіді експертів рівномірно покривають поверхню бублика, то формальне усереднення вкаже на центр дірки від бублика, а такої думки, не дотримується жоден експерт. Зі сказаного зрозуміла важливість проблеми перевірки узгодженості думок експертів.

Розроблено ряд методів такої перевірки. Статистичні методи перевірки узгодженості залежать від математичної природи відповідей експертів. Відповідні статистичні теорії досить важкі, якщо ці відповіді - ранжування або розбиття, і досить прості, якщо відповіді - результати незалежних парних порівнянь. Звідси випливає рекомендація по організації експертного опитування: чи не намагайтеся відразу отримати від експерта ранжування або розбиття, йому важко це зробити, та й наявні математичні методи не дозволяють далеко просунутися в аналізі подібних даних. Наприклад, рекомендують перевіряти узгодженість ранжировок за допомогою коефіцієнта рангової конкордації Кендалла-Сміта. Але давайте згадаємо, яка статистична модель при цьому використовується. Перевіряється нульова гіпотеза, згідно з якою ранжування незалежні і рівномірно розподілені на безлічі всіх ранжировок. Якщо ця гіпотеза приймається, то звичайно, ні про яку узгодженості думок експертів говорити не можна. А якщо відхиляється? Теж не можна. Наприклад, може бути два (або більше) центру, біля яких групуються відповіді експертів. Нульова гіпотеза відхиляється. Але хіба можна говорити про узгодженість?

Експерту набагато легше на кожному кроці порівнювати тільки два об'єкти. Нехай він займається парними порівняннями. Непараметрична теорія парних порівнянь (теорія люсіанов) дозволяє вирішувати більш складні завдання, ніж статистика ранжировок або розбиття. Зокрема, замість гіпотези рівномірного розподілу можна розглядати гіпотезу однорідності, т. Е. Замість збіги всіх розподілів з одним фіксованим (рівномірним) можна перевіряти лише збіг розподілів думок експертів між собою, що природно трактувати як узгодженість їх думок. Таким чином, вдається позбутися неприродного припущення рівномірності.

При відсутності узгодженості експертів природно розбити їх на групи подібних на думку. Це можна зробити різними методами статистики об'єктів нечислової природи, що відносяться до кластер-аналізу, попередньо ввівши метрику в простір думок експертів. Ідея американського математика Джона Кемені про аксіоматичному введенні метрик (див. Нижче) знайшла численних продовжувачів. Однак методи кластер-аналізу зазвичай є наближеними. Зокрема, неможливо з позицій статистичної теорії обгрунтувати "законність" об'єднання двох кластерів в один. Є важливий виняток - для незалежних парних порівнянь (люсіанов) розроблені методи, що дозволяють перевіряти можливість об'єднання кластерів як статистичну гіпотезу. Це - ще один аргумент за те, щоб розглядати теорію люсіанов як ядро ??математичних методів експертних оцінок [1].

Знаходження підсумкового думки комісії експертів.Нехай думки комісії експертів або якийсь її частини визнані узгодженими. Яке ж підсумкове (середнє, загальне) думка комісії? Згідно з ідеєю Джона Кемені слід знайти середнє думка як рішення оптимізаційної задачі. А саме, треба мінімізувати сумарне відстань від кандидата в середні до думок експертів. Знайдене таким способом середнє думка називають "медианой Кемені".

Математична складність полягає в тому, що думки експертів лежать в деякому просторі об'єктів нечислової природи. Загальна теорія подібного усереднення побудована в ряді робіт, зокрема, показано, що в силу узагальнення закону великих чисел середнє думка при збільшенні числа експертів (чиї думки незалежні і однаково розподілені) наближається до деякого межі, який природно назвати математичним очікуванням (Випадкового елемента, що має той же розподіл, що і відповіді експертів).

У конкретних просторах нечислових думок експертів обчислення медіани Кемені може бути досить складною справою. Крім властивостей простору, велика роль конкретних метрик. Так, в просторі ранжировок при використанні метрики, пов'язаної з коефіцієнтом рангової кореляції Кендалла, необхідно проводити досить складні розрахунки, в той час як застосування показника відмінності на основі коефіцієнта рангової кореляції Спірмена призводить до впорядкування за середніми рангах.

Бінарні відносини і відстань Кемені.Як відомо, бінарне відношення А на кінцевій множині Q = {q1, q2, ..., Qk} - Це підмножина декартова квадрата Q2 = {(Qm , qn ), M, n = 1,2, ..., k}. При цьому пара (qm , qn ) входить в А тоді і тільки тоді, коли між qm и qn є розглянуте відношення. Кожну кластерізованний ранжування, як і будь-який бінарне відношення, можна задати матрицею || x (a, b) || з 0 і 1 порядку k x k. При цьому x (a, b) = 1 тоді і тільки тоді, коли a  або a = b. В першому випадку x (b, a) = 0, а в другому x (b, a) = 1. При цьому хоча б одне з чисел x (a, b) и x (b, a) дорівнює 1.

Як використовувати зв'язок між ранжування і матрицями? Наприклад, з визначення суперечливості пари (A, b) (Див. Вище, пункт про теорію вимірювань) випливає, що для знаходження всіх таких пар можна скористатися матрицями, відповідними ранжировкам. Досить поелементно перемножити дві матриці ||x (a, b)|| і ||y (a, b)||, Що відповідають двом кластерізованний ранжировкам, і відібрати ті і тільки ті пари, для яких x (a, b) y (a, b) = x (b, a) y (b, a) =0.

В експертних методах використовують, зокрема, такі бінарні відносини, як ранжування (упорядкування, або розбиття на групи, між якими є строгий порядок), відносини еквівалентності, толерантності (відносини подібності). Як випливає зі сказаного вище, кожне бінарне відношення А можна описати матрицею || a (i, j) || з 0 і 1, причому a (i, j) = 1 тоді і тільки тоді, коли qiи qjперебувають у відношенні А, і a (i, j) = 0 в іншому випадку.

Визначення. Відстанню Кемені між бінарними відносинами А і В, що описуються матрицями || a (i, j) || і || b (i, j) || відповідно, називається число D (A, B) = ? ¦a (i, j) - b (i, j) ¦, де підсумовування проводиться по всіх i, j від 1 до k, т. е. відстань Кемені між бінарними відносинами дорівнює сумі модулів різниць елементів, що стоять на одних і тих же місцях у відповідних їм матрицях.

Легко бачити, що відстань Кемені - це число незбіжних елементів в матрицях || a (i, j) || і || b (i, j) || . відстань Кемені засноване на деякій системі аксіом. Ця система аксіом і висновок з неї формули для відстані Кемені між впорядкованістю міститься в книзі [7], яка зіграла велику роль у розвитку в нашій країні такого наукового напрямку, як аналіз нечислової інформації [4, 6]. Надалі під впливом Кемені були запропоновані різні системи аксіом для отримання відстаней в тих чи інших потрібних для соціально-економічних досліджень просторах, наприклад, в просторах множин [4].

Медіана Кемені і закони великих чисел.За допомогою відстані Кемені знаходять підсумкове думка комісії експертів. нехай А1 , А2 , А3 , ..., Ар - Відповіді р експертів, представлені у вигляді бінарних відносин. Для їх усереднення використовують т. Н. медіану Кемені Arg min ? D (Ai , A) , Де Arg min - то чи ті значення А, При яких досягає мінімуму зазначена сума відстаней Кемені від відповідей експертів до поточної змінної А, По якій і проводиться мінімізація. Таким чином, ? D (Ai , A) = D (A1 , A) + D (A2 , A) + D (A3 , A) + ... + D (Aр , A) . Крім медіани Кемені, використовують середнє по Кемені,в якому замість D (Ai , A) варто D2 (Ai , A). Медіана Кемені - окремий випадок визначення емпіричного середнього в просторах нечислової природи. Для неї справедливий закон великих чисел, т. Е. Емпіричне середнє наближається при зростанні числа складових (т. Е. р - Числа доданків в сумі), до теоретичного середнього: Arg min ? D (Ai , A) > Arg min М D (A1 , A) . Тут М - символ математичного очікування. Передбачається, що відповіді р експертів А1 , А2 , А3 , ..., А р є підстави розглядати як незалежні однаково розподілені випадкові елементи (т. е. як випадкову вибірку) у відповідному просторі довільної природи, наприклад, в просторі упорядкування або відносин еквівалентності. Систематично емпіричні та теоретичні середні і відповідні закони великих чисел вивчені в ряді робіт (див., Наприклад, [4, 6]).

Закони великих чисел показують, по-перше, що медіана Кемені володіє стійкістю по відношенню до незначної зміни складу експертної комісії; по-друге, при збільшенні числа експертів вона наближається до деякого межі. Його природно розглядати як істинну думку експертів, від якого кожен з них кілька відхилявся по випадковим причин. Розглянутий тут закон великих чисел є узагальненням відомого в статистиці "класичного" закону великих чисел. Він заснований на інший математичної базі - теорії оптимізації, в той час як "класичний" закон великих чисел використовує підсумовування. Упорядкування та інші бінарні відносини не можна складати, тому доводиться застосовувати іншу математику. Обчислення медіани Кемені - завдання цілочисельного програмування. Зокрема, для її знаходження використовується різні алгоритми дискретної математики, зокрема, засновані на методі гілок і меж. Застосовують також алгоритми, засновані на ідеї випадкового пошуку, оскільки для кожного бінарного відносини неважко знайти безліч його сусідів.

Таблиця 3.

Матриця попарних відстаней

Розглянемо приклад обчислення медіани Кемені. Нехай дана квадратна матриця (близько 9) попарних відстаней для безлічі бінарних відносин з 9 елементів А1 , А2 , А3 , ..., А9 (Див. Табл. 3). Потрібно знайти в цій множині медіану для безлічі з 5 елементів {А2 , А4 , А5 , А8 , А9}.

Відповідно до визначення медіани Кемені слід ввести в розгляд функцію

з (А) = ? D (Ai , A) = D (A2 , A) + D (A4 , A) + D (A5 , A) + D (A8 , A) + D (A9 , A),

розрахувати її значення для всіх А1 , А2 , А3 , ..., А9 і вибрати найменше. Проведемо розрахунки: с (А1) = 24, с (А2) = 13, с (А3) = 21, с (А4) = 27, с (А5) = 16, с (А6) = 23, с (А7) = 15, с (А8) = 25, с (А9) = 25. З усіх обчислених сум найменша дорівнює 13, і досягається вона при А = А2, Отже, медіана Кемені - це А2.

література

1. Орлов А. і. Експертні оцінки // Заводська лабораторія. 1996. Т.62. № 1. С.54-60.

2. Горський В. р, Орлов А. і., Гриценко А. а. Метод узгодження групових ранжировок // Автоматика і телемеханіка. 2000. №3. С. 159-167.

3. Шрейдер Ю. а. Рівність, схожість, порядок. М .: Наука, 1971.

4. Орлов А. і. Стійкість в соціально-економічних моделях. - М .: Наука, 1979. - 296 с.

5. Менеджмент. Навчальний посібник. / Под ред. Ж. в. Прокоф'євої. - М .: Знание, 2000. - 288 с.

6. Орлов А. і. Сучасна прикладна статистика // Заводська лабораторія. 1998. Т. 64. № 3. С.52-60.

7. Кемені Дж., Снелл Дж. Кібернетичне моделювання: Деякі додатки. - М .: Радянське радіо, 1972. - 192 с.

8. Орлов А. і. Економетрика. Навчальний посібник. - М .: Изд-во "Іспит", 2002.

 



МЕТОД УЗГОДЖЕННЯ кластерізованний ранжировок | До участі в конференції запрошуються науковці, вузівські викладачі, аспіранти, магістранти, шкільні вчителі і всі зацікавлені особи

ОСНОВНІ СТАДІЇ експертного ОПИТУВАННЯ | ПІДБІР ЕКСПЕРТІВ | ПРО РОЗРОБКУ РЕГЛАМЕНТУ ПРОВЕДЕННЯ ЗБОРУ ТА АНАЛІЗУ експертних ДУМОК |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати