Головна

МЕТОД УЗГОДЖЕННЯ кластерізованний ранжировок

  1. C. Індикаторний метод
  2. I. Методи вивчення кількісного та якісного складу мікрофлори шкіри рук
  3. I. ПРЕДМЕТ ФІЛОСОФІЇ. Антропоцентризм ЯК СВІТОГЛЯДНИЙ І МЕТОДОЛОГІЧНИЙ ПРИНЦИП СУЧАСНОЇ ФІЛОСОФІЇ
  4. II. БАКТЕРІОЛОГІЧНИЙ МЕТОД
  5. II. Декарт Рене (1596-1650, французький філософ, математик). Рекомендував в логіці використовувати математичні методи.
  6. II. Метод попереджувального вписування
  7. II. Методика написання та оформлення контрольної роботи

Проблема полягає у виділенні загального несуворого порядку з набору кластеризованих ранжировок (на статистичному мовою - ранжировок зі зв'язками). Цей набір може відображати думки кількох експертів або бути отриманий при обробці думок експертів різними методами. Пропонується метод узгодження групових ранжировок, що дозволяє "загнати" протиріччя всередину спеціальним чином побудованих кластерів (груп), в той час як впорядкування кластерів відповідає всім вихідним впорядкованості.  У різних прикладних областях виникає необхідність аналізу декількох кластеризованих ранжировок об'єктів. До таких областей відносяться насамперед екологія, інженерний бізнес, менеджмент, економіка, соціологія, прогнозування, наукові і технічні дослідження і т. Д., особливо ті їх розділи, що пов'язані з експертними оцінками (див., Наприклад, [1,2] ). Як об'єкти можуть виступати зразки продукції, технології, математичні моделі, проекти, кандидати на посаду та ін. Групові ранжування можуть бути отримані як за допомогою експертів, так і об'єктивним шляхом, наприклад, при зіставленні математичних моделей з експериментальними даними за допомогою того чи іншого критерію якості. Описаний нижче був розроблений метод в зв'язку з проблемами хімічної безпеки біосфери і екологічного страхування.

Розглянемо метод побудови кластерізованний ранжування, узгодженої (в розкритому нижче сенсі) з усіма розглянутими кластерізованний ранжировками. При цьому протиріччя між окремими вихідними ранжировками виявляються ув'язненими всередині кластерів узгодженої ранжування. В результаті впорядкованість кластерів відображає загальну думку експертів, точніше, те спільне, що міститься у вихідних ранжировках.

В кластери укладені об'єкти, з приводу яких деякі з вихідних ранжировок суперечать один одному. Для їх упорядкування необхідно провести нові дослідження. Ці дослідження можуть бути як формально-математичними (наприклад, обчислення медіани Кемені, упорядкування за середніми рангах або по медианам і т. П), так і вимагати притягнення нової інформації з відповідної прикладної області, можливо, проведення додаткових наукових або прикладних робіт.

 Введемо необхідні поняття, потім сформулюємо алгоритм узгодження групових ранжировок в загальному вигляді і розглянемо його властивості.

Нехай є кінцеве число об'єктів, які ми для простоти викладу будемо зображати натуральними числами 1,2,3, ..., k і називати "носієм". Під кластерізованний ранжуванням, визначеної на заданому носії, розуміємо наступну математичну конструкцію. Нехай об'єкти розбиті на групи, які будемо називати кластерами. У кластері може бути і один елемент. Вхідні в один кластер об'єкти будемо укладати в фігурні дужки. Наприклад, об'єкти 1,2,3, ..., 10 можуть бути розбиті на 7 кластерів: {1}, {2,3}, {4}, {5,6,7}, {8}, {9} , {10}. У цьому розбитті один кластер {5,6,7} містить три елементи, інший - {2,3} - два, решта п'ять - по одному елементу. Кластери не мають спільних елементів, а об'єднання їх (як множин) є все розглядається безліч об'єктів.

Друга складова кластерізованний ранжування - це строгий лінійний порядок між кластерами. Визнач, який з них перший, який другий, і т. Д Будемо зображати впорядкованість за допомогою знака <. При цьому кластери, що складаються з одного елемента, будемо для простоти зображати без фігурних дужок. Тоді кластерізованний ранжування на основі введених вище кластерів можна зобразити так: А = [1 <{2,3} <4 <{5,6,7} <8 <9 <10]. Конкретні Групові ранжування будемо укладати в квадратні дужки. Якщо для простоти мови термін "кластер" застосовувати тільки до кластеру не менше ніж з 2-х елементів, то можна сказати, що в кластерізованний ранжування А входять два кластери {2,3} і {5,6,7} і 5 окремих елементів .

Введена описаним чином кластерізованний ранжування є бінарним відношенням на множині {1,2,3, ..., 10}. Його структура така. Задано відношення еквівалентності з 7-ю класами еквівалентності, а саме, {2,3}, {5,6,7}, а решта складаються з решти 5 окремих елементів. Потім введений строгий лінійний порядок між класами еквівалентності. Введений математичний об'єкт відомий в літературі як "Ранжування зі зв'язками" (М. Холлендер, Д. Вулф), "Впорядкування" (Дж. Кемені, Дж. Снелл), "Квазісерія" (Б. Г. Миркин), "Досконалий квазіпорядок" (Ю. А. Шрейдер [3, с.127, 130]). З огляду на різнобій в термінології, ми ввели термін "Групові ранжування", оскільки в ньому явно названі основні елементи досліджуваного математичного об'єкта - кластери, що розглядаються на етапі узгодження ранжировок як класи еквівалентності, і ранжування - строгий досконалий порядок між ними (в термінології [3, гл.IV]).

 Наступне важливе поняття - суперечливість. Воно визначається для четвірки - дві Групові ранжування на одному і тому ж носії і два різних об'єкта - елементи того ж носія. При цьому два елементи з одного кластера будемо пов'язувати символом рівності =, як еквівалентні.

Нехай А і В - дві Групові ранжування. Пару об'єктів (a, b) назвемо "суперечливою" щодо А і В, якщо ці два елементи по-різному впорядковані в А і В, т. Е a b в В (перший варіант суперечливості) або a> b в А і a Відзначимо, що відповідно до цього визначення пара об'єктів (A, b), еквівалентна хоча б в одній кластерізованний ранжировке, не може бути суперечливою: a = b не утворює "протиріччя" ні з a , Ні з a> b.

Як приклад розглянемо дві Групові ранжування В = [{1,2} <{3,4, 5} <6 <7 <9 <{8, 10}], C = [3 <{1, 4} <2 < 6 <{5, 7, 8} <{9, 10}]. Сукупність суперечливих пар об'єктів для двох кластеризованих ранжировок А і В назвемо "ядром протиріч" і позначимо S (A, B). Для розглянутих вище як приклади трьох кластеризованих ранжировок А, В і С, визначених на одному і тому ж носії {1, 2, 3, ..., 10}, маємо S (A, B) = [(8, 9) ], S (A, C) = [(1, 3), (2,4)], S (B, C) = [(1, 3), (2, 3), (2, 4), ( 5, 6), (8,9)]. Як при ручному, так і при програмному знаходженні ядра можна в пошуках суперечливих пар переглядати пари (1,2), (1,3), (1., 4), ..., (1, k), потім (2 , 3), (2,4), ..., (2, k), потім (3,4), ..., (3, k), і т. д, аж до (k-1, k).

Користуючись поняттями дискретної математики, "ядро протиріч" можна зобразити графом з вершинами в точках носія. При цьому суперечливі пари задають ребра цього графа. Граф для S (A, B) має тільки одне ребро (одна зв'язкова компонента більш ніж з однієї точки), для S (A, C) - 2 ребра (дві зв'язкові компоненти більш ніж з однієї точки), для S (B, C ) - 5 ребер (три зв'язкові компоненти більш ніж з однієї точки {1, 2, 3, 4}, {5, 6} і {8, 9}).

Кожну кластерізованний ранжування, як і будь-який бінарне відношення, можна задати матрицею || x (a, b) || з 0 і 1 порядку k x k. При цьому x (a, b) = 1 тоді і тільки тоді, коли a  або a = b. В першому випадку x (b, a) = 0, а в другому x (b, a) = 1. При цьому хоча б одне з чисел x (a, b) и x (b, a) дорівнює 1. З визначення суперечливості пари (a, b) випливає, що для знаходження всіх таких пар досить поелементно перемножити дві матриці || x (a, b) || і || y (a, b) ||, що відповідають двом кластерізованний ранжировкам, і відібрати ті і тільки ті пари, для яких x (a, b) y (a, b) = x (b, a) y (b, a) = 0.

 Пропонований алгоритм узгодження деякого числа кластеризованих ранжировок складаються з трьох етапів. На першому виділяються суперечливі пари об'єктів у всіх парах кластеризованих ранжировок. На другому формуються кластери підсумкової кластерізованний ранжування (т. Е класи еквівалентності - зв'язкові компоненти графів, Відповідних об'єднанню попарних ядер протиріч). На третьому етапі ці кластери (класи еквівалентності) упорядковуються. Для встановлення порядку між кластерами довільно вибирається один об'єкт з першого кластера і другий - з другого, порядок між кластерами встановлюється такий же, який має бути між обраними об'єктами в будь-який з розглянутих кластеризованих ранжировок. Коректність подібного упорядкування, т. Е його незалежність від вибору тієї чи іншої пари об'єктів, випливає з відповідних теорем, доведених в статті [2]. Два об'єкти з різних кластерів согласующей кластерізованний ранжування можуть виявитися еквівалентними в одній з вихідних кластеризованих ранжировок (т. Е перебувати в одному кластері). В такому випадку треба розглянути впорядкованість цих об'єктів в будь-якій іншій з вихідних кластеризованих ранжировок. Якщо ж у всіх вихідних кластеризованих ранжировках два розглянутих об'єкта знаходилися в одному кластері, то природно вважати (і це є уточненням до етапу 3 алгоритму), що вони знаходяться в одному кластері і в согласующей кластерізованний ранжировке.

Результат узгодження групових ранжировок А, В, С, ... позначимо f (А, В, С, ...). Тоді f (А, В) = [1 <2 <3 <4 <5 <6 <7 <{8, 9} <10], f (А, С) = [{1,3} <{2, 4 } <5 <6 <7 <8 <9 <10], f (В, С) = [{1,2,3,4} <{5,6} <7 <{8,9} <10], f (А, В, С) = f (В, С) = [{1,2,3,4} <{5,6} <7 <{8, 9} <10]. У разі f (А, В) додаткового вивчення з метою впорядкування вимагають тільки об'єкти 8 і 9. У разі f (В, С) об'єкти 1,2,3,4 об'єдналися в один кластер, т. Е Групові ранжування виявилися настільки суперечливими , що процедура узгодження не дозволила провести досить повну декомпозицію задачі знаходження підсумкового думки експертів.

Розглянемо деякі властивості алгоритмів узгодження. Нехай D = f (А, В, C, ...). Якщо a ядро протиріч для набору кластеризованих ранжировок є об'єднанням таких ядер для всіх пар розглянутих ранжировок. Побудова узгоджувальних кластеризованих ранжировок націлене на виділення загального впорядкування в початкових кластеризованих ранжировках. Однак при цьому деякі загальні властивості вихідних кластеризованих ранжировок можуть губитися. Так, при узгодженні ранжировок В і С, розглянутих вище, протиріччя в упорядкуванні елементів 1 і 2 цієї статті не було - в ранжировке У ці об'єкти входили в один кластер, т. Е 1 = 2, в той час як 1 <2 в кластерізованний ранжировке С. Значить, при їх окремому розгляді можна прийняти впорядкування 1 <2. Однак в f (в, C) вони потрапили в один кластер, т. е можливість їх упорядкування зникла. Це пов'язано з поведінкою об'єкта 3, який "переступив" в С на перше місце і "захопив з собою в протиріччя" пару (1, 2), утворивши суперечливі пари і з 1, і з 2. Іншими словами, зв'язкова компонента графа, відповідного ядру протиріч, сама по собі не завжди є повним графом. Відсутні ребра при цьому відповідають парам типу (1, 2), які самі по собі не є суперечливими, але "захоплюються в протиріччя" іншими парами.

Необхідність узгодження групових ранжировок виникає, зокрема, при розробці методики застосування експертних оцінок в задачах екологічного страхування та хімічної безпеки біосфери. Як вже говорилося, популярним є метод упорядкування за середніми рангах, в якому підсумкова ранжування будується на основі середніх арифметичних рангів, виставлених окремими експертами [1]. Однак з теорії вимірювань відомо [4, гл.3], що більш обґрунтованим є використання не середніх арифметичних, а медіан. Разом з тим метод середніх рангів досить відомий і широко застосовується, так що просто відкинути його недоцільно. Тому було прийнято рішення про одночасне застосування обох методів. Реалізація цього рішення зажадала розробки методики узгодження двох зазначених кластеризованих ранжировок.

Розглянутий метод узгодження групових ранжировок побудований відповідно до методологією теорії стійкості [4], згідно з якою результат обробки даних, інваріантний щодо методу обробки, відповідає реальності, а результат розрахунків, залежить від методу обробки, відображає суб'єктивізм дослідника, а не об'єктивні співвідношення.

 



ПРО РОЗРОБКУ РЕГЛАМЕНТУ ПРОВЕДЕННЯ ЗБОРУ ТА АНАЛІЗУ експертних ДУМОК | МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ АНАЛІЗУ ЕКСПЕРТНИХ ОЦІНОК
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати