Головна |
нехай - Лінійний оператор, який є перетворенням конечномерного евклидова простору . лінійний оператор називається зв'язаних к , Якщо для будь-яких
теорема 1.11 Для будь-якого лінійного оператора - перетворення конечномерного евклидова простору - існує єдиний пов'язаний.
Доведення. доведемо спершу існування сполученого оператора. Виберемо в розглянутому просторі довільний ортонорм , і нехай . Візьмемо транспоновану матрицю і визначимо оператор так, що для довільного .
тоді
Пов'язаний оператор існує - він визначається матрицею, транспонованою до матриці вихідного оператора.
Доведемо тепер єдиність сполученого оператора. Нехай існує (разом з ) Такий лінійний оператор , що .
Але тоді для будь-яких векторів , звідки
Так як це рівність має виконуватися для будь-яких , то ,
але це означає, що , або ,
і пов'язаний оператор - єдиний.
квадратична форма | Ортогон. м-ці та ортогон. перетворення
Поняття лінійного простору | Підпростору і лінійні оболонки | перетворення базисів | Речовий евклидово простір | Ортогональні системи векторів | лінійні оператори | Власні вектори і власні числа лінійного оператора. |