На головну

Квадратурні формули відрізняються один від одного способом оцінки значення Si - площі елементарної криволінійної трапеції.

  1. A) значення, змінні, константи
  2. B. Загальні принципи вартісної оцінки
  3. Ex. 8. Використовуючи карту міста, запитаєте один одного, де знаходяться театри, музеї і т. Д. І як туди можна дійти або доїхати
  4. Going home I met an old friend of mine- Йдучи додому, я зустрів старого друга.
  5. III. КРИТЕРІЇ ОЦІНКИ КУРСОВОЇ РОБОТИ
  6. O семантичний, який обумовлений значеннями елементів, складових інтерфейс.
  7. Project Expert - інструмент оцінки запасу міцності бізнесу

Розглянемо отримання найпростіших формул для часто використовуваної рівномірної сітки.

Формули прямокутників.

Площа i-тій елементарної трапеції можна оцінити (приблизно обчислити) як площа прямокутника зі сторонами  і fi. тоді  і значення інтеграла:

 (6.4)

Мал. 6.2. Оцінка елементарної площі Si лівим прямокутником.

Отримана формула називається формулою лівих прямокутників, Тому що для оцінки площі використовувалося ліве підставу елементарної криволінійної трапеції.

 Аналогічно можна отримати формулу правих прямокутників:

Мал. 6.3. Оцінка елементарної площі Si правим прямокутником.

Для даного випадку  і тоді значення інтеграла:

 (6-5)

Ці формули не знаходять широкого застосування, тому що мають велику похибку, пропорційну величині кроку

Як з'являється ця похибка, видно на малюнках.

 Для підвищення точності площа Si можна оцінити, використовуючи прямокутник зі стороною, що дорівнює значенню підінтегральної функції в середині елементарного відрізка

Мал. 6.4. Оцінка елементарної площі Si центральним прямокутником.

Для даного випадку  і формула центральних прямокутників має вигляд:

 (6.6)

Як видно з рис. 6.4, похибка в оцінці площі Si в даному випадку істотно менше, ніж у двох попередніх (похибка оцінюється різницею площ ?1 і ?2).

Похибка методу пропорційна квадрату величини кроку

Схема алгоритму обчислення значення певного інтеграла за наведеними квадратурних формулах представлена ??на рис. 6.6.

приклад 6.1. Обчислення значення певного інтеграла за формулами прямокутників. Для спрощення ручних розрахунків розглянемо досить просту задачу.

Потрібно обчислити:

Точне значення легко обчислюється за формулою Ньютона-Лейбніца:

=

=

Для обчислення інтеграла по квадратурної формулою необхідно вибрати число вузлів n.

Нехай n = 5, тоді

Розрахунок за формулою лівих прямокутників:

похибка розрахунку .

 Сумарна площа прямокутників помітно менше площі криволінійної трапеції.
 Знак і значення похибки можна легко оцінити по геометричній ілюстрації обчислення інтеграла по квадратурної формулою.

                   
 
 0,5
 
 0,4
 
 0,8
 
 1,2
 
 1,6
 


Мал. 6.5. Геометрична ілюстрація обчислення значення певного інтеграла за формулою лівих прямокутників.

Розрахунок за формулою правих прямокутників:

 Похибка розрахунку d »4,125 - 4,71 = - 0,585.

Для підвищення точності необхідно збільшити n або використовувати більш точні квадратурні формули.

Розрахунок за формулою центральних прямокутників:

 Похибка розрахунку d »4,125 - 4,114 = 0,011.

Формула центральних прямокутників на порядок точніше попередніх формул.

Формула трапецій.

В даному методі елементарна криволинейная трапеція замінюється трапецією (крива f (x) замінюється хордою CD).

 
 


 
 

 Мал. 6.7. Оцінка елементарної площі Si трапецією.

З малюнка видно, що

Звідси:

 (6.7)

Похибка формули трапецій пропорційна квадрату крок h  тобто формули центральних прямокутників і трапецій мають близьку точність.

Приклад 6.2. Обчислити за формулою трапецій значення раніше розглянутого певного інтеграла  при n = 5, h = 0,3.

 Похибка розрахунку d »4,125 - 4,1475.

Формула трапецій має таку ж точність, як і формула центральних прямокутників.



Теорія. | Обчислення визначеного інтеграла.
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати