На головну

Загальні відомості

  1. B. Загальні принципи вартісної оцінки
  2. I. ЗАГАЛЬНІ ОРГАНІЗАЦІЙНО-МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
  3. I. Загальні положення
  4. I. Загальні положення
  5. I. Загальні положення
  6. I. Загальні відомості

Однією з найважливіших динамічних характеристик системи автоматичного управління є її стійкість.

Під стійкістю розуміється властивість системи повертатися до вихідного стану рівноваги або заданому закону руху після припинення (зняття) впливу, який відхилив систему від запропонованого їй руху.

Нестійка система не повертається стосується встановленого режиму роботи, а безперервно від нього віддаляється або здійснює біля нього зростаючі коливання. Очевидно, що така система не може виконувати покладені на неї функції - вона виявляється непрацездатною.

Крім стійкого (нестійкого) режиму в лінійної САУ можливі ще два режими руху: межа стійкості і нейтральна стійкість. Кордон стійкості - це перехід від стійкості до нестійкості або навпаки. В цьому режимі в системі виникають незгасаючі коливання щодо заданого руху. Така система також є непрацездатною. Нейтральна стійкість - це режим, коли відхилення від запропонованого руху прагнуть до постійної величини, залежної від початкових умов (в стійкій системі відхилення прагнуть до нуля). Нейтральну стійкість слід розглядати, як особливу стійкість системи управління.

Математичним описом лінійної системи, коли до неї прикладено якесь вхідний вплив, є, в загальному вигляді, лінійне диференціальне рівняння n-го порядку:

=  , (3.1)

де Xвих -керована (вихідна) величина, Xвх -вхідний вплив.

Перехідний процес в системі можна знайти, вирішивши рівняння (3.1). Рішення має вигляд:

Xвих (T) = Xвих. вин (T) + Xвих. св.(T),(3.2)

де Xвих. вин (T) -вимушена складова перехідного процесу, що залежить від властивостей системи і виду вхідного впливу. При постійній вхідній дії вимушена складова також буде постійною.

Xвих. св.(T) -свободнаясоставляющая перехідного процесу. Вона залежить від властивостей системи і початкових умов.

Вільна складова - це рішення рівняння (3.1), коли права частина дорівнює нулю або, іншими словами, коли знято вхідний вплив. А це значить, що однорідне рівняння

0(3.3)

є математичним описом стійкості системи, а вид вільної складової визначає характер руху САУ після зняття впливу.

Якщо при нескінченному зростанні часу (t) Хвих. св.(T)прямує до нуля, то САУ стійка, якщо Хвих. св.(T)прямує до нескінченності або нескінченно зростають коливання вільної складової, то САУ нестійка.

Якщо ж Хвих. св.(T)здійснює періодичні незгасаючі коливання, то система знаходиться на межі стійкості.

Нарешті, якщо Хвих. св.(T)прагне до постійної складової, то така система нейтрально стійка.

Аналітичний вираз для вільної складової можна знайти, вирішивши рівняння (3.3). З теорії диференціальних рівнянь відомо, що рішення однорідного рівняння має вигляд:

Хвих. св.(T) = , (3.4)

де  - Постійні інтегрування, які визначаються початковими умовами, pi -корені характеристичного рівняння, нерівні одна одній.

Для рівняння (3.3) характеристичне рівняння має вигляд:

 . (3.5)

З рішення (3.4) випливає, що вид вільної складової залежить тільки від коренів характеристичного рівняння.

Якщо все коріння матимуть негативну дійсну частину (сюди входять коріння комплексні, зв'язані з негативною дійсною частиною і негативні дійсні), то вільна складова при t > 0, буде також прагнути до нуля. Коріння з позитивною дійсною частиною викликають нескінченне зростання Хвих. св.(T).Одна або кілька пар уявних сполучених коренів дають періодичну незатухаюче складову в вільної складової, а один або кілька нульових коренів дають постійну складову.

Також вид вільної складової залежить від коренів кратних.

Сказане дозволяє сформулювати загальні умови стійкості лінійних систем автоматичного управління з коріння характеристичного рівняння.

Для стійкості САУ необхідно і достатньо, щоб дійсна частина всіх коренів характеристичного рівняння системи була негативною.

Якщо хоча б один дійсний корінь або пара комплексних коренів матимуть позитивну дійсну частину, то система буде нестійкою.

Якщо характеристичне рівняння має одну або кілька пар уявних коренів, а решта з негативною дійсною частиною, то система знаходиться на межі стійкості.

При одному або декількох нульових коренях, а інших з негативною дійсною частиною система буде нейтрально стійкою.

Розрахунок чисельних значень коренів пов'язаний з відомими труднощами, які зростають зі збільшенням ступеня характеристичного рівняння. У той же час із загального умови випливає, що для судження про стійкість систем досить мати уявлення лише про знаках дійсних складових всіх коренів характеристичного рівняння.

Методи, що дозволяють за непрямими ознаками визначати знаки коренів характеристичного рівняння і робити однозначний висновок про стійкість (нестійкість) системи, називаються критеріями стійкості. Вони діляться на алгебраїчні і частотні. До алгебраїчним відносяться критерії Гурвіца і Рауса, до частотним - критерії Михайлова і Найквіста. Для рівнянь невисокого порядку (n ? 4) Застосовуються алгебраїчні критерії. при n> 4краще користуватися частотними критеріями. Для одноконтурних САУ перевагу слід віддавати критерієм Найквіста в логарифмічній масштабі.

У розрахунковій практиці, перш ніж користуватися будь-яким вищенаведеним умовою стійкості, доцільно перевірити систему на виконання так званого необхідна умова стійкості.

Необхідною умовою стійкості є однозначність або позитивність (при а0 > 0)всіх коефіцієнтів характеристичного рівняння.

Особливість необхідна умова стійкості полягає в тому, що якщо воно не виконується, то система буде нестійкою. Якщо ж необхідна умова виконується, то це ще не говорить про те, що система стійка. Її слід перевірити на виконання необхідних і достатніх умов за загальним умовою стійкості або за критеріями стійкості.

Для експериментального дослідження стійкості САУ з успіхом можна користуватися методом структурного моделювання (прикладні програми «КОМПАС » або«MATLAB - SIMULINK»). Метод можна застосувати до будь САУ незалежно від їх складності та порядку диференціального рівняння.

При моделюванні стійкість системи визначається по виду перехідної характеристики (реакції на одиничне поетапне вплив). В цьому випадку Xвих. вин (T) -величина постійна, що визначає рівень усталеного режиму (УКР). Якщо вихідна величина з плином часу прагне до сталого режиму, то це означає, що вільна складова прагне до нуля. Отже, система стійка. Якщо вихідна величина весь час йде від УКР або здійснює біля нього зростаючі коливання, то система нестійка. Кордоні стійкості відповідають періодичні незгасаючі коливання.

Приклади перехідних характеристик САУ, що ілюструють: а) Стійкість, б) Нестійкість і в) Кордон стійкості, наведені на рис. 3.1.

 При дослідженні на стійкість, коли вже визначена стійкість або нестійкість системи, дуже часто виникає необхідність визначення впливу параметрів на її стійкість.

Встановити вплив того чи іншого параметра САУ на стійкість можна аналітично за допомогою критеріїв стійкості або експериментально шляхом моделювання системи. Будь-який метод дослідження зводиться до визначення граничних (критичних) значень цікавить параметра і побудови областей стійкості. Граничними називаються чисельні значення параметрів системи, при яких вона знаходиться на межі стійкості. Областю стійкості називається діапазон чисельних значень параметра, при яких САУ стійка або нестійка.

При аналітичному дослідженні, для знаходження граничних значень параметра, необхідно по одному з вищенаведених критеріїв записати умова знаходження системи на межі стійкості через параметри системи, висловити в явному вигляді цікавить параметр і знайти його чисельні значення. Всі інші параметри при цьому повинні мати задані значення. Граничні значення параметра дозволяють побудувати області стійкості (нестійкості) при зміні параметра в заданому діапазоні або в теоретично можливому діапазоні від 0 до ?.

На рис. 3.2 наведено приклад області стійкості системи для параметра k в діапазоні від 0 до ? (k має одне граничне значення, причому при зменшенні kщодо граничного значеніясістема стійка, а при збільшенні нестійка).

САУ САУ



Програма лабораторної роботи | стійкості

лабораторних робіт | Загальні відомості | Програма лабораторної роботи | Програма перевірки результатів дослідження | Загальні відомості | Програма підготовки до лабораторної роботи | Програма лабораторної роботи | Загальні відомості | Програма підготовки до лабораторної роботи | Програма лабораторної роботи |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати