Головна

Метод Ейлера для вирішення однорідної системи дифф. ур-ий.

Згідно з методом Ейлера спільне рішення системи (1) шукається у вигляді

X = h * e?* 1 (1)

Де h - вектор - стовпець довільних постійних (причому, хоча б один з його елементів повинен

? - число

Значення h і ? необхідно визначити в процесі розрахунку

1. Підставляємо рішення (1) в систему диференціального рівняння

dx / dt = A * x

Для цього продифференцируем (1):

d / dt * (h * e?t)

після підстановки маємо:

? * h * e?t= A * h * e?t

і скорочуючи на e?t (Не рівне нулю) =>

? * h = A * h

2. Виносимо за дужки вектор h, попередньо перенісши всі члени в ліву частину рівності.

Для винесення за дужки вектор ?h необхідно помножити на Е.

Після підстановки рішення (1) в систему диференціальних рівнянь отримуємо:

(? * E-A) * h = 0 (2)

3. Щоб алгебраїчна система (2) мала нульове рішення, необхідно і достатньо щоб її визначник дорівнював нулю, (див. Рішення однорідних алгебраїчних систем) тобто Х була коренем рівняння.

det (? * E-A) = 0 (3)

Розраховуючи визначник, отримуємо рівняння, яке називається характеристичним рівнянням:

? (?) = ?n+ b1* ?n-1+ ... + Bn-1 * ? + bn= 0 (4)

Коріння, отримані при вирішенні рівняння (4) називаються характеристичними числами системи, власним значенням матриці А.

Вектор h називається власним вектором матриці А, відповідного належного ?.

При вирішенні характеристичного рівняння (4) можливі випадки отримання коренів

1. Коріння речові і різні.

2. Коріння речові кратні.

3. Коріння комплексні.

Порядок вирішення системи диференціальних рівнянь (Хз треба чи ні)

1. Записуємо матрицю коефіцієнтів системи диференціальних рівнянь.

2. Складаємо характеристичне рівняння системи.

det (A-? * E) = 0

3. Знаходимо характеристичні числа системи (коріння характеристичного рівняння)

4. В залежності від виду коренів шукаємо рішення системи.



Визначення канонічної системи диф-х ур-й | Метод Ейлера для випадку різних і речових коренів характеристичного рівняння.
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати