Головна

Найпростіші квадратурні формули.

Завдання чисельного інтегрування виникає в прикладних дослідженнях, коли значення певного інтеграла

 (8)

не може бути обчислено аналітично, зокрема, коли функція  задана таблицею своїх значень.

Чисельне інтегрування виконується з використанням так званих квадратурних формул - Наближених рівностей виду

 , (9)

де - вузли квадратурной формули;  - Числові коефіцієнти, звані вагами квадратурной формули; сума  , Яка приймається за наближене значення інтеграла, називається квадратурной сумою; величина

 (10)

називається похибкою квадратурної формули.

Найпоширеніший спосіб побудови квадратурних формул полягає в наступному. Інтеграл (8) представляють у вигляді суми інтегралів по елементарним відрізкам :

 . (11)

На кожному з елементарних відрізків функцію  апроксимують інтерполяційним многочленом певною мірою і виконують інтегрування (аналітично). Отримані при цьому формули (для рівновіддалених вузлів) називаються формулами Ньютона - Котеса.

Якщо на елементарному відрізку  довжини  використовувати інтерполяційний многочлен першого ступеня (3), то отримаємо найпростішу формулу Ньютона - Котеса - формулу трапецій:

 . (12)

Для многочленів другий (4) і третьої (5) ступеня отримаємо відповідно елементарні квадратурні формули Сімпсона

,

 , (13)

для інтерполяційного многочлена четвертого ступеня - елементарну квадратурну формулу Буля

 . (14)

якщо відрізок  розбитий на  елементарних інтервалів  довжини  рівновіддаленими вузлами, то, використовуючи (11), (12), можна вивести складову формулу трапецій

 . (15)

при записи складовою формули Сімпсона слід брати парне число вузлів; роль елементарного інтервалу грає інтервал  , довжини  , Що містить три вузли. при  ця формула має вигляд:

 (16)

Для складових квадратурних формул трапецій та Сімпсона справедливі наступні оцінки похибок:

,  . (17)

Формула трапецій має другий порядок точності щодо  , А формула Сімпсона - четвертий; формула трапецій дає точний результат для многочленів першого ступеня, а формула Сімпсона - для многочленів третього ступеня.

Порядок виконання завдання

1. Задайте порядок інтерполяційного многочлена; обчисліть крок, координати вузлів інтерполяції і значення зазначеної в завданні функції в вузлах.

2. Запишіть вирази для базисних поліномів, і побудуйте загальну формулу интерполяционного многочлена Лагранжа.

3. Побудуйте графік інтерполяційного многочлена.

4. Визначте функцію похибки інтерполяції і побудуйте її графік.

5. Розрахуйте максимальне значення похибки інтерполяції і визначте точку, де це значення досягається.

6. Перевірте (візуально) екстраполяційні можливості многочлена Лагранжа, побудувавши відповідний графік.

7. Збільшіть число інтерполяційних вузлів в три рази і повторіть всі попередні обчислення. Порівняйте результати.

8. Вибравши певну кількість інтервалів інтегрування (в діапазоні від 4 до 10), обчисліть координати вузлових точок і значення функції в цих точках.

9. Використовуючи складову формулу трапецій, виконайте чисельне інтегрування.

10. Виконайте чисельне інтегрування з використанням складовою формули Сімпсона. Порівняйте результати.

11. Використовуючи вбудовані функції системи Mathcad, обчисліть «точне» значення певного інтеграла і з його допомогою похибки формул трапецій та Сімпсона.

12. Повторіть пункти 8 - 11 збільшуючи щоразу число інтервалів інтегрування в 2 рази. На основі цих розрахунків складіть таблицю похибок (5 - 10 рядків). Аналізуючи табличні дані, зробіть певний висновок про порядок точності формул Сімпсона і трапецій.

13. Наведіть оцінку похибки чисельного інтегрування, використовую правило Рунге. Порівняйте цю оцінку з теоретичної оцінкою.

14. Зробіть висновки по виконаній роботі.

15. Збережіть робочий документ.

При виконанні п.12 - 13 корисно побудувати графіки, що відображають зміну похибки (теоретичної і отриманої за правилом Рунге) чисельного інтегрування при послідовному подвоєнні кількості вузлів інтегрування.

При чисельному інтегруванні по формулі трапецій можна скористатися однією з Mathcad-програм (поясніть, у чому їх відмінність один від одного):

Далі можна використовувати програму (J - точне значення певного інтеграла, обчислене аналітично):

Аналогічні Mathcad-програми можна скласти і для методу Сімпсона.


 



Інтерполяційний поліном Лагранжа | Модель (від лат. Modulus - зразок) - створюване людиною подобу досліджуваних об'єктів: макети, зображення, схеми, словесні описи, математичні формули, карти і т.д.
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати