Головна

Властивості визначеного інтеграла від чет. і щось. функції на симетричному проміжку.

Якщо функція f (x) парна на відрізку [-a; a], то

Якщо функція f (x) непарна на відрізку [-a; a], то


Поняття спільного рішення диференціального рівняння першого порядку, приватне рішення, початкові умови, задача Коші.

Опр. Спільним рішенням (загальним інтегралом) рівняння (1) називається таке співвідношення  (2), що:

1. Будь-яке рішення (2)  щодо y (Для набору постійних C1, C2, ..., Cn з деякою області nмірного простору) - приватне рішення рівняння (1);
 2. Будь-яка приватна рішення рівняння (1) може бути отримано з (2) при деякому наборі постійних C1, C2, ..., Cn.
 Ми будемо в основному розглядати диференціальні рівняння в формі, дозволеної відносно старшої похідної:  (3) і отримувати загальне рішення в формі  (4) вирішеною щодо невідомої функції.

Опр. приватним рішенням рівняння (1) на інтервалі (a, b) (Кінцевому або нескінченному) називається будь-яка n раз диференційована функція  , Яка задовольняє цьому рівнянню, тобто звертає рівняння на цьому інтервалі в тотожність. Так, функція y(x) = ex + x звертає рівняння: y(4) - y + x = 0 в тотожність на всій числовій осі (y(4)(x) = ex; ex - (ex +x) + x = 0), тобто є приватним рішенням цього рівняння. Будь-яке рівняння порядку  має безліч приватних рішень (приватним рішенням наведеного рівняння є і функція y(x) = Sin (x) + x). Процедуру рішення диференціального рівняння часто називають інтегруванням рівняння, при цьому інтегрувати доводиться в загальному випадку рівно n раз, і при кожному інтегруванні в рішення входить чергова довільна постійна.

Завдання Коші (задача з початковою умовою). нехай функція f(x, y) Визначена в області D, крапка  . Потрібно знайти рішення рівняння  ; (8) задовольнить початковому умові y(x0) = y0; (9) (початкова умова (9) часто записують у формі  ).
Теорема Коші (існування і розв'язання задачі Коші). Якщо в області D функція f(x, y) Неперервна і має безперервну приватну похідну  , То для будь-якої точки  в околиці точки x0 існує єдине рішення задачі ((8), (9)).


23. Теорема про існування та єдиності розв'язку ДУ в повних диференціалах.

24. Визначник Вронського.

визначник Вронського - Визначник наступної матриці:

Застосовується для вирішення диференціальних рівнянь.

Мають місце наступні теореми: Нехай y1(X), ..., yn(X) - (N-1) раз диференціюються, тоді:

· Якщо y1(X), ..., yn(X) лінійно залежні на X, То det (W) = 0.

· Якщо det (W) = 0 хоча б для одного  , То y1(X), ..., yn(X) лінійно залежні на X.

або:

· Визначник Вронського або тотожно дорівнює нулю, і це означає, що y1(X), ..., yn(X) лінійно залежні, або не звертається в нуль ні в одній точці X, Що означає лінійну незалежність функцій y1(X), ..., yn(X).




Ознаки порівняння (для невласного інтеграла I і II роду.) | Лінійні однорідні диференціальні рівняння n-го порядку з постійними коефіцієнтами. Вид приватних рішень, характеристичне рівняння

Поняття первісної. Властивості первісної. | Поняття невизначеного інтеграла. Властивості невизначеного інтеграла. | Поняття інтегральної суми. | Необхідна ознака інтегрованості функції за Ріманом. Функція Діріхле. | Властивості визначеного інтеграла. Теорема про повну загальну середню. | Властивості визначеного інтеграла, виражені нерівностями | Інтеграли із змінною верхньою межею. | Обсяг тіла обертання із заданим поперечним перерізом | Поняття невласного інтеграла I роду | Поняття невласного інтеграла II роду |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати