Головна

Абсолютна і умовна збіжність. Достатній ознака збіжності знакозмінних рядів.

Умовну і абсолютну збіжність розрізняють для рядів виду

Визначення: Знакозмінні ряд називають абсолютно збіжним, якщо сходиться ряд, складений з абсолютних значень членів даного ряду.

Якщо даний ряд за ознакою Лейбніца сходиться, але ряд з абсолютних величин його членів розходиться, то вихідний ряд називають умовно збіжним.

Достатньою ознакою сх-ти таких рядів є Ознака Лейбніца

Теорема Лейбніца.

якщо  = 0 (1) і un un+1> 0, n = 1,2, ..., (2) то Знакозмінні ряд  (3) сходиться.

Доведення:

Розглянемо часткові суми парного порядку ряду (3):

S2k=  . Їх можна записати у вигляді S2k= (U1-u2) + (U3-u4) + ... + (U2k-1-u2k), K = 1,2, ...

В силу умови (2) вираження в круглих дужках невід'ємні і тому S2k S2 (k+1), Т. Е послідовність часткових сум парного порядку ряду (3) монотонно зростає.

Помічаючи, що часткові суми S2k можна записати також і у вигляді

S2k= u1- (U2-u3) -...- (U2k-2-u2k-1) -u2k, k = 1,2, ..., і що вираження в круглих дужках в силу умови (2) невід'ємні, а u2k> 0, отримуємо, що S2k1, Т. Е послідовність {S2k} Обмежена зверху.

З монотонного зростання і обмеженості зверху послідовності {S2k} Слід, що вона сходиться.

нехай  = S (4). Покажемо, що і часткові суми непарного порядку ряду (3) прагнуть до того ж межі. Дійсно, S2k+1= S2k+ u2k+1, K = 1,2 ... (5), і так як, згідно (1),  , То в силу (4) і (5) маємо  (6). З (4) і (6) випливає що .




Радикальна ознака Коші. | Статечні ряди. Теорема Абеля. Радіус збіжності.

Висновок формули обчислення обсягу тіла обертання щодо осі OX і OY (в декартовій системі координат). | Теорема про абсолютну збіжність невласного інтеграла 1-го роду | Сформулюйте і доведіть властивості рішень ОЛДУ. | Теорема про рівність нулю вронскіан лінійно-залежних функцій (необх. Ум. Л. З.). | Теорема про структуру загального рішення ЛНДУ | Теорема про суперпозиції рішень (принцип складання рішень) | Необхідна ознака збіжності. | Критерій збіжності рядів з невід'ємними членами. | Граничний ознака порівняння для рядів з невід'ємними членами. | Ознака Даламбера. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати