Головна

Теорема про суперпозиції рішень (принцип складання рішень)

Якщо функція yi(X) є рішенням ЛНДУ

(3) y(N) + P1y(N-1) + ... + Pny = fi(X) то функція  = ?1y1 + ?2y2 + ... + ?nyn , То це функція є рішенням y(n) + P1y(n-1) + ... + Pny = ?1 f1(X) + ?2 f2(X) + ... + ?n fn(X) (4)

Док-во: для n = 2

y = ?1y1 + ?2y2

y '= ?1y1'+ ?2y2'

y '' = ?1y1'' + ?2y2''

Підставами y, y ', y ", в (4), враховуємо що y1 y2 рішення відповідного рівняння (3)

?1y1"+ ?2y2"+ P1(X) [?1y1'+ ?2y2'] + P2(X) [?1y1+ ?2y2] =

= [?1y1"+ P1(X) ?1y '1 + P2(X) ?1y1] + [?2y2"+ P1(X) ?2y '2 + P2(X) ?2y2] = ?1f1(X) + ?2f2(X)

 
 

16. Метод варіації довільних сталих - метод Лагранжа

Метод дозволяє знайти рішення ДУ незалежно від виду правої частини, коли відомо спільне рішення соотв-го однорідного ДУ.

ДУ 2-го порядку. Нехай y "+ P1(X) y '+ P2(X) y = f (x) (1) нехай y1(X) і y2(X) - ФСР ЛОДР

y "+ P1(X) y '+ P2(X) y = 0  (X) = C1y1(X) + C2y2(X) (2). Приватне рішення y * (x) у вигляді (14) вважаючи при цьому C1 і C2 Не завжди, а невідомими функціями від x.

y * = C  (X) y  (X) + C  (X) y  (X), y * = C '  (X) y  (X) + C (x)  y '  (X) + C '  (X) y  (X) + C (x)  y '  (X)

нехай C  (X) і C  (X)  C '  (X) y  (X) + C '  (X) y  (X) = 0 / рівність (3), тоді y * '= C  (X) y '  (X) + C  (X) y '  (X); y * "= C  (X) y '  (X) + C  (X) y "  (X) + C '  (X) y '  (X) + C  (X) y "  (X).

Підставами y *, y * ', y * "в (1): C  (X) [y "  (X) + P  (X) y  '(X) + P  (X) y  (X)] + C  (X) [y "  (X) + P  (X) y  '(X) + P  (X) y  (X)] + C '  (X) y '  (X) + C '  (X) y '  (X) = f (x). Оскільки y  (X), y  (X) рішення ОДУ, то вираження [] = 0  C '  (X) y '  (X) + C '  (X) y '  (X) = 0.

Пояснимо два умови і (3):

 C '1(X) y1(X) + C '2(X) y2(X) = 0

C '1(X) y '1(X) + C '2(X) y '2(X) = f (x) (4)

Невизначені функції C '1(X) і C '2(X).

Визначник цієї системи: W [y1, y2] = 0  вирішуючи цю систему, ми отримаємо C  (X) =  (X), C  (X) =  (X) проинтегрируем і отримаємо рішення C1(X) і C2(X) знайдені. Підставами в y *.

Для ЛНДУ n-го порядку ф-ії Ci(X) визначаються з системи:

 C '  (X) y  + C '  (X) y  + ... + C '  (X) y  = 0

C '  (X) y '  + C '  (X) y '  + ... + C '  (X) y '  = 0

... .

C '  (X) y  + C '  (X) y  + ... + C '  (X) y  = 0

C '  (X) y  + C '  (X) y  + ... + C '  (X) y  = F (x)

Теорема про структуру загального рішення ЛНДУ | Необхідна ознака збіжності.


ЧИСЛОВІ І ФУНКЦІОНАЛЬНІ РЯДИ | ЗВИЧАЙНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ | Теорема про певний інтеграл із змінною верхньою межею | Висновок формули обчислення площі плоскої фігури (в декартовій системі координат) | Висновок формули обчислення довжини дуги (в декартовій системі координат) | Висновок формули обчислення обсягу тіла обертання щодо осі OX і OY (в декартовій системі координат). | Теорема про абсолютну збіжність невласного інтеграла 1-го роду | Сформулюйте і доведіть властивості рішень ОЛДУ. | Теорема про рівність нулю вронскіан лінійно-залежних функцій (необх. Ум. Л.З.). | Критерій збіжності рядів з невід'ємними членами. |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати