Головна |
Якщо функція yi(X) є рішенням ЛНДУ
(3) y(N) + P1y(N-1) + ... + Pny = fi(X) то функція = ?1y1 + ?2y2 + ... + ?nyn , То це функція є рішенням y(n) + P1y(n-1) + ... + Pny = ?1 f1(X) + ?2 f2(X) + ... + ?n fn(X) (4)
Док-во: для n = 2
y = ?1y1 + ?2y2
y '= ?1y1'+ ?2y2'
y '' = ?1y1'' + ?2y2''
Підставами y, y ', y ", в (4), враховуємо що y1 y2 рішення відповідного рівняння (3)
?1y1"+ ?2y2"+ P1(X) [?1y1'+ ?2y2'] + P2(X) [?1y1+ ?2y2] =
= [?1y1"+ P1(X) ?1y '1 + P2(X) ?1y1] + [?2y2"+ P1(X) ?2y '2 + P2(X) ?2y2] = ?1f1(X) + ?2f2(X)
16. Метод варіації довільних сталих - метод Лагранжа
Метод дозволяє знайти рішення ДУ незалежно від виду правої частини, коли відомо спільне рішення соотв-го однорідного ДУ.
ДУ 2-го порядку. Нехай y "+ P1(X) y '+ P2(X) y = f (x) (1) нехай y1(X) і y2(X) - ФСР ЛОДР
y "+ P1(X) y '+ P2(X) y = 0 (X) = C1y1(X) + C2y2(X) (2). Приватне рішення y * (x) у вигляді (14) вважаючи при цьому C1 і C2 Не завжди, а невідомими функціями від x.
y * = C (X) y (X) + C (X) y (X), y * = C ' (X) y (X) + C (x) y ' (X) + C ' (X) y (X) + C (x) y ' (X)
нехай C (X) і C (X) C ' (X) y (X) + C ' (X) y (X) = 0 / рівність (3), тоді y * '= C (X) y ' (X) + C (X) y ' (X); y * "= C (X) y ' (X) + C (X) y " (X) + C ' (X) y ' (X) + C (X) y " (X).
Підставами y *, y * ', y * "в (1): C (X) [y " (X) + P (X) y '(X) + P (X) y (X)] + C (X) [y " (X) + P (X) y '(X) + P (X) y (X)] + C ' (X) y ' (X) + C ' (X) y ' (X) = f (x). Оскільки y (X), y (X) рішення ОДУ, то вираження [] = 0 C ' (X) y ' (X) + C ' (X) y ' (X) = 0.
Пояснимо два умови і (3):
C '1(X) y1(X) + C '2(X) y2(X) = 0
C '1(X) y '1(X) + C '2(X) y '2(X) = f (x) (4)
Невизначені функції C '1(X) і C '2(X).
Визначник цієї системи: W [y1, y2] = 0 вирішуючи цю систему, ми отримаємо C (X) = (X), C (X) = (X) проинтегрируем і отримаємо рішення C1(X) і C2(X) знайдені. Підставами в y *.
Для ЛНДУ n-го порядку ф-ії Ci(X) визначаються з системи:
C ' (X) y + C ' (X) y + ... + C ' (X) y = 0
C ' (X) y ' + C ' (X) y ' + ... + C ' (X) y ' = 0
... .
C ' (X) y + C ' (X) y + ... + C ' (X) y = 0
C ' (X) y + C ' (X) y + ... + C ' (X) y = F (x)
Теорема про структуру загального рішення ЛНДУ | Необхідна ознака збіжності.
ЧИСЛОВІ І ФУНКЦІОНАЛЬНІ РЯДИ | ЗВИЧАЙНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ | Теорема про певний інтеграл із змінною верхньою межею | Висновок формули обчислення площі плоскої фігури (в декартовій системі координат) | Висновок формули обчислення довжини дуги (в декартовій системі координат) | Висновок формули обчислення обсягу тіла обертання щодо осі OX і OY (в декартовій системі координат). | Теорема про абсолютну збіжність невласного інтеграла 1-го роду | Сформулюйте і доведіть властивості рішень ОЛДУ. | Теорема про рівність нулю вронскіан лінійно-залежних функцій (необх. Ум. Л.З.). | Критерій збіжності рядів з невід'ємними членами. |