Головна

Рішення.

Оскільки при збільшенні відстані від вершини кривизна параболи монотонно убуває, то, чим більше розміри кулі, тим вище він застрягне у вазі. Крім того, якщо куля спирається на край вази, а його поверхня не стосується внутрішньої поверхні вази, то куля трохи меншого діаметру зануриться в вазу глибше і витіснить більше води. Отже, для того щоб обсяг витісненої кулею води був максимальним, необхідно розглядати кулі, які стосуються внутрішньої поверхні вази.

Порівняємо поперечним перерізом вази і кулі. Нехай куля стосується параболи в точці  . Можна показати, що його центр знаходиться в точці з координатами .

Дійсно, вимагаючи, щоб система рівнянь  мала єдине рішення, отримаємо  . тоді  . Звідки .

Обсяг сферичного сегмента радіусом  і висотою  дорівнює  . диференціюючи за  , отримаємо  . Необхідна ознака екстремуму дає  . виключаючи звідси и  , Знайдемо залежність радіуса кулі  від параметрів параболоїда и : .

Відповідь. Куля, що витісняє найбільший обсяг води, має радіус .

Завдання № 7.

Нескінченна послідовність (речових) чисел  виходить почленного складанням двох геометричних прогресій. Чи може ця послідовність починатися з таких чисел: .

Якщо може, то знайдіть такі послідовності.



Рішення. | Рішення.

Рішення. | Рішення. | Рішення. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати