Головна

Графічне рішення позиційних і метричних задач

Позиційні завдання на площині

Позиційними називаються завдання на визначення будь-яких загальних елементів геометричних об'єктів, наприклад, точки перетину прямої і площини, лінії перетину двох площин.

Перетин прямої і площини

Завдання на перетин прямої і площини можна вирішувати за допомогою допоміжної січної площини, Яка повинна відповідати таким вимогам:

- Бути площиною приватного положення, так як саме площину приватного положення проектується на відповідну площину проекцій у вигляді прямої;

- Проходити через пряму, точку перетину якої з площиною ми відшукуємо.

Розглянемо спочатку окремий випадок.

Нехай площину займає приватна положення в просторі, наприклад, є горизонтально-проецирующей і задана трикутником АВС (рис. 2.12, а). Необхідно знайти точку перетину її з прямою а, заданої довільно. оскільки на П1 горизонтально-проектує площину вироджується в пряму S1, То горизонтальною проекцією точки перетину буде К1. Далі по лінії зв'язку на прямий а2 (Очевидно точка перетину К належить прямій а) знайдемо фронтальну проекцію К2 точки перетину.

Залишилося визначити видимі ділянки прямої а, Оскільки на П2 частина зазначеної прямої буде закрита від спостерігача площиною DАВС. Для цього необхідно розглянути точку, де перетинаються фронтальні проекції а і будь-якої прямої (наприклад, АС ), Що лежить в площині DАВС. Позначимо цю точку 12. Але перетинатися пряма а і DАВС можуть тільки в одній точці, яку ми відшукали (К2). Всі інші точки будуть точками, де вони схрещуються. Отже, пряма а и АС схрещуються в просторі. Значить, все точки, де перетинаються їх проекції, будуть конкуруючими, а саме 12= 22. тоді на П1 маємо по лінії зв'язку 11IА1С1 і 21 I а1. Видимої є точка 2, яка належить прямій а. Це зберігається до точки перетину К2. Потім, природно, ділянка прямої а буде невидимий (позначається пунктирною лінією) до виходу з-під площині DАВС. Тепер завдання можна вважати повністю вирішеною.

Розглянемо загальний випадок.

Нехай площину задана трикутником DАВС. Тут і надалі використовуємо завдання площині в основному трикутником, так як в цьому випадку рішення задачі найбільш наочно. Необхідно знайти точку перетину довільно заданої прямої в с DАВС (Рис. 2.12, б).

Як зазначено вище, потрібно через пряму в провести площину приватного положення (наприклад, фронтально-проецирующую). Лінія перетину цієї площини збігається з прямою в на П2, тобто S2=в2 . Тоді по точках перетину 32 і 42 побудуємо точки 31 і 41, А отже, і пряму 3141, Що є горизонтальною проекцією лінії перетину площини S і DАВС. Але так як пряма 34IDАВС, то точка К1 буде горизонтальною проекцією точки перетину прямої в и DАВС. За нею знайдемо і фронтальну проекцію К2, Яка, очевидно, повинна бути розташована на в2 (Адже точка перетину належить і прямий в і D АВС).

Визначимо видимі ділянки прямої в на обох проекціях по конкуруючим точкам. Для визначення видимості на П2 використовуємо фронтально-конкуруючі точки (наприклад, точки 32= 52, Де схрещуються в2 и А2В2). Очевидно, що точка 31 ближче до нас, ніж точка 51. Отже, на П2 вище 32, Тоді в цій точці А2 В2 вище, а в2 лежить під нею. Це вірно лише до точки перетину К2. Далі, природно, вище буде в2. Аналогічно по горизонтально-конкуруючим точках (наприклад, 61= 71) Визначаємо, що в точках 61= 71 пряма В1С1 лежить вище, ніж в1, Так як точка 72 розташована вище, ніж точка 62. Невідомий ділянку прямої в позначаємо пунктирною лінією.

Слід мати на увазі, що коли площина задана не плескатою фігурою, можна говорити лише про видимість окремих ділянок прямої відносно площини, хоча така постановка завдання вірна і в разі плоскої фігури.

Попередню завдання можна сформулювати трохи інакше: визначити видимість ділянок прямий в щодо точки її перетину з площиною, яка задана DАВС, А не з самим трикутником АВС. Тоді невидимі ділянки лівіше точки К2 і правіше К1 ми повинні були б продовжити до нескінченності.

Більш наочно цю особливість можна проінтерпретувати на прикладі (рис. 2.12, в), де площину задана пересічними прямими а и в. Хід рішення нічим не відрізняється від попереднього, але невидимість ділянок прямий с вже не обмежена геометричними елементами, які задають площину.

Таким чином, чим би не була задана площина, точку її перетину з прямою можна знайти, використовуючи січну площину приватного положення, що проходить через цю пряму, а видимість (або невидимість) на площинах проекцій окремих ділянок прямий - за допомогою конкуруючих точок.

Метричні задачі на площині

метричними називаються завдання за визначенням натуральної величини геометричних об'єктів (відрізка прямої або площини), або найкоротшої відстані між геометричними об'єктами. Найбільш універсальним для вирішення таких завдань прийнято вважати спосіб заміни площин проекцій, Який полягає в наступному: залишають незмінним положення в просторі геометричного об'єкта, а замінюють одну або послідовно обидві площини проекцій так, щоб питання, що цікавлять нас прямі або площині виявилися паралельними одній з нових площин проекцій.

Тоді одна з основних площин проекцій П1 або П2 замінюється нової площиною проекцій П4, Відповідним чином розташованої щодо зображуваного геометричного об'єкта, але перпендикулярної незамінюваних площині проекцій.

В результаті заміни однієї з основних площин на площину проекцій П4 отримуємо замість старої системи площин проекцій П1/П2 нову систему П1/П4 (Рис. 2.15), якщо замінювалося площину П2, І систему П2/П4, Якщо замінювалося площину П1.

Мал. 2.13. Інтерпретація способу заміни площин проекцій

Наприклад, на рис. 2.15, а площину П4 може виступати в ролі фронтальній площині проекцій П2. На малюнку 4.5, б, фігурними дужками відзначені відстані від точки А до горизонтальної площини проекцій П1. Природно, як видно на рис. 2.15, а, ці відстані рівні А2А12=А4А14, Так як висота точки А над площиною П1 проектується як на П2, Так і на П4 у вигляді однакових відрізків. Відстань же до П2 и П4 від точки А можуть бути різними, тому А1А12?А1А14.

Спосіб заміни площин проекцій раціонально застосовувати при вирішенні наступних завдань:

- Визначення натуральної величини відрізка прямої лінії;

- Визначення натуральної величини плоскої фігури;

- Визначення натуральної величини двогранного кута;

- Визначення найкоротшої відстані від точки до прямої лінії або до площини;

- Визначення найкоротшої відстані між двома паралельними або двома перехресними прямими;

Рішення задач даними способом розглянемо на кількох прикладах.

Визначення довжини відрізка прямої загального положення

Для визначення натуральної величини (довжини) відрізка АВ прямій лінії необхідно зробити цей відрізок прямої лінії загального положення в новій системі площин проекцій лінією рівня. щоб відрізок АВ став лінією рівня щодо нової площині проекцій, замінимо площину П2 на площину П4, паралельну АВ, І перейдемо від системи П1/П2 до системи П1/П4. Нову вісь проекцій X14, Вибираємо паралельно А1В1 (Рис. 2.16). Для побудови нової проекції відрізка АВ проводимо нові лінії проекційної зв'язку перпендикулярно осі Х14, І відзначаємо на них нові проекції А4, В4 точок А и В. Для цього відкладаємо Ах1А4=А2Ах, Вх1В4=В2Вх.

Мал. 2.14. Перетворення прямої загального положення в пряму рівня.

Поєднуючи знайдені точки А4, В4, Отримуємо нову проекцію А4В4 відрізка АВ. Як бачимо, відрізок АВ в новій системі площин проекцій П1/П4 є лінією рівня, так як А1В1 паралельна X14, а отже, АВ паралельна П4. Тоді, очевидно, що А4В4 є натуральною величиною відрізка АВ.

Визначення натуральної величини плоскої фігури

Для визначення натуральної величини плоскої фігури необхідно додаткову площину побудувати так, щоб вона була паралельна даної фігурі, і тоді на цю площину проекцій плоска фігура проектується в натуральну величину. Якщо в якості плоскої фігури вибрати трикутник, тоді завдання формулюється в такий спосіб: перетворити площину трикутника загального положення в новій системі площин проекцій в площину рівня.

Однією заміною площин проекцій це завдання вирішити неможливо, так як необхідно дотримуватися умова: нова площина повинна бути перпендикулярна незамінюваних. Тому вирішимо це завдання двома замінами: першої заміною введемо площину, яка перпендикулярна трикутнику АВС, Другий заміною - площину, паралельну трикутнику АВС.

Для того, щоб побудувати площину П4, Перпендикулярну трикутнику АВС, необхідно розташувати її так, щоб вона була перпендикулярна фронталі, або горизонталі трикутника АВС.

нехай П4 перпендикулярна горизонталі, тоді нова вісь Х14 повинна бути перпендикулярна h1 (Рис. 2.17). Побудуємо її на якій відстані від трикутника А1В1С1. Потім з точок А1, В1, С1 проведемо лінії зв'язку перпендикулярно Х14. На кожній з них від осі Х14 відкладемо відрізок, що дорівнює відстані від фронтальної проекції відповідної точки до осі Х12. В результаті отримуємо нову проекцію В4А4С4 трикутника АВС, Яка представляє собою пряму, оскільки площина трикутника АВС перпендикулярна площині П4.

Мал. 2.15. Перетворення площини загального положення в площину рівня.

Другий заміною вводимо замість П1 площину П5, Паралельну площині трикутника АВС. Тоді виходить система площин проекцій П4/ П5, вісь Х45 якої паралельна В4А4С4. Вона може бути розташована на довільному відстані від В4А4С4. Далі з точок В4 А4 С4 проводимо лінії зв'язку перпендикулярно Х45, І на кожній з них від осі Х45 відкладаємо відрізок, що дорівнює відстані від горизонтальної проекції відповідної точки до осі Х14. отримаємо точки А5, В5, С5, З'єднавши які маємо трикутник А5В5С5, Який і є натуральною величиною трикутника АВС, Оскільки в новій системі площин проекцій трикутник АВС паралельний площині П5.




Взаємне положення прямих і площин | Освіта і наближена класифікація поверхонь

методи проектування | Комплексний креслення Монжа | Графічне відображення точки на комплексному кресленні | Графічне відображення прямий на комплексному кресленні | Безосние креслення | Взаємне положення прямих | Площина і її завдання на кресленні | Площині приватного та загального положення | Належність точки і прямої площині | Лінії рівня в площині |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати