Головна

Взаємне положення прямих і площин

Для вирішення деяких завдань нарисної геометрії істотне значення має розташування розглянутих геометричних об'єктів або паралельно, або перпендикулярно один одному. У зв'язку з цим розглянемо ознаки, за якими можна визначити паралельність або перпендикулярність геометричних об'єктів, а також залежні від них правила побудови проекцій геометричних об'єктів, розташованих під певним кутом один до одного.

Слід зазначити, що ці ознаки добре відомі з курсу планіметрії, нашої ж метою є їх застосування до задач нарисної геометрії.

Паралельність прямих і площин

а). Якщо прямі паралельні один одному, тоді паралельні і їх однойменні проекції. Це властивість досить очевидно і в пояснень не потребує.

б). Пряма паралельна площині, якщо вона паралельна будь-якої прямої, що лежить у цій площині. Тоді для побудови паралельної прямий а (Рис. 2.9, а) необхідно, щоб обидві її проекції були паралельні однойменною проекція прямої (наприклад, АВ), Що лежить в даній площині. Відповідно до рис. 2.9, а пряма а паралельна площині Н, Заданої двома пересічними прямими АВ и ВС. У математичній формі це можна записати так: а ccН (АВ C ВС).

Мал. 2.9. Побудова паралельно розташованих геометричних об'єктів

в) Площини паралельні один одному, якщо дві пересічні прямі площині попарно паралельні двом пересічним прямим іншій площині. Для інтерпретації цієї властивості досить доповнити побудови на рис. 2.9, а ще одній прямій в, перетинає а і паралельної ВС (Рис. 2.9, б). Математична запис виглядає так: Г (а C в) ccН (АВCВС).

.

Перпендикулярність прямих і площин

Питання перпендикулярності геометричних об'єктів починаємо з розгляду перпендикулярності прямої і площини, так як інші поєднання залежать від цієї ознаки.

а). Пряма перпендикулярна до площини, якщо вона перпендикулярна до двох пересічних прямих лежачим в цій площині, одна з яких фронталь, а інша горизонталь.

Доповнення щодо горизонталі і фронталі має велике значення. Хоча для перпендикулярності цілком достатньо щоб зазначеними пересічними прямими були будь-які прямі в даній площині, проте тільки горизонталь і фронталь дозволяють отримати без спотворень проекції прямого кута (відповідно до Теоремою про прямому куті), Утвореного перпендикуляром до площини і Фронтале (на П2) І перпендикуляром до площини і горизонталлю (на П1). Тоді очевидно, що горизонтальна проекція цього перпендикуляра розташована під прямим кутом до горизонтальної проекції горизонталі, а фронтальна проекція - під прямим кутом до фронтальної проекції фронталі.

Покажемо на прикладі (рис. 2.10, а). Нехай площину задана трикутником АВС. Потрібно побудувати перпендикулярну до неї пряму, що проходить через точку D.

Мал. 2.10. Побудова перпендикулярно розташованих геометричних об'єктів.

Спочатку Викреслити головні лінії площині горизонталь і фронталь, потім з точки D1 проведемо перпендикуляр g1 к h1, А з точки D2 - перпендикуляр g2 к f2. Математично результат можна записати так: g ^ H(DАВС).

б). Площині перпендикулярні один до одного, якщо одна з них містить перпендикуляр до іншої.

Тоді, повертаючись до рис. 2.10, а, де перпендикуляр g до площини вже побудований, необхідно через точку D провести довільну пряму q (Рис. 2.10, б). У математичній формі запис виглядає так: Г (g C q) ^ Н (DАВС).

Те, що друга пряма q проводиться довільно не дивно, так як через перпендикуляр до площини можна побудувати віяло площин, перпендикулярних до даної.

в). Прямі взаємно перпендикулярні, якщо на одній з них можна побудувати площину, перпендикулярну до іншої прямої.

Нехай потрібно побудувати перпендикуляр до g, проходить через точку А. Дотримуючись вищевказаного ознакою, спочатку потрібно побудувати площину, перпендикулярну до g і проходить через точку А. Ця площина буде задана Фронтале f і горизонталлю h, причому h1 ^ g1 і f2 ^ g2, А проекції h2 и f1 проводимо паралельно осі ОХ (Рис. 2.11).

Мал. 2.11. Побудова взаємно перпендикулярних прямих.

Будь-яка пряма, що лежить в цій площині, буде перпендикулярна g. Наприклад, пряма АВ, Отримана по точках перетину 1 і 2 з площиною, заданої h и f. При вирішенні цього завдання слід врахувати, що якщо ми хочемо побудувати пересічні перпендикулярні прямі, тоді пряма АВ повинна бути побудована єдиним чином. А саме, спочатку потрібно знайти точку В, перетину g і площини Н (h C f), потім провести АВ. У нашому випадку АВ обрана довільно і точка В не є точкою перетину g і площини Н (h C f). Питання перетину прямої і площини розглядаються нижче.



Лінії рівня в площині | Графічне рішення позиційних і метричних задач

Лекція №1. Проектування простих геометричних об'єктів | методи проектування | Комплексний креслення Монжа | Графічне відображення точки на комплексному кресленні | Графічне відображення прямий на комплексному кресленні | Безосние креслення | Взаємне положення прямих | Площина і її завдання на кресленні | Площині приватного та загального положення | Належність точки і прямої площині |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати