Головна

Рівняння 2-го ступеня на площині

Визна. Рівняння 2-го порядку на площині називають рівняння виду

a11x2+ 2a12xy + a22y2+ a13x + a23y + a33= 0 (6.2)

Перші три складові утворюють квадратичную форму і визначають тип кривої 2-го порядку. Почнемо вивчення цього рівняння в його канонічному вигляді.

Визна. Безліч точок площини, сума відстаней від кожної з яких до двох даних точок F1 і F2, Званих фокусами, дорівнює постійної 2а, називають Елліс.

Якщо розташувати зазначені точки симетрично початку координат і на осі Ох F1 (0; -с) і F2(0; с), то після рішення задачі типу 2 отримаємо канонічне рівняння еліпса  . У цьому рівнянні параметри еліпса а, в, з пов'язані співвідношенням а2-b2= c2 . Можна розглянути геометричний спосіб побудови еліпса - в аркуш паперу вколоти дві шпильки, зв'язати вільним кільцем нитка, одягнути кільце на шпильки, відтягнути олівцем нитку і в такому стані рухати крандаш навколо шпильок - він опише еліпс.

Точки перетину еліпса з осями координат називають вершинами еліпса. Відстані від початку координат до вершин називають півосями еліпса. Полуость, на якій розташовані фокуси - а - називається велика піввісь, b - малої.

Ставлення 2c / 2a = c / a називають ексцентриситет еліпса. Ексцентриситет (колишній центр) характеризує ступінь витягнутості еліпса вздовж велика піввісь і може приймати значення від 0 до 1. У першому випадку еліпс перетворюється в коло (a = b), а в другому - еліпс вироджується у відрізок F1F2. Еліпс - одна з класичних кривих 2-го порядку.

Визна. Безліч точок площини, рсазность відстаней від кожної з яких до двох даних точок F1 і F2, Званих фокусами, дорівнює постійної 2а, називають гіперболою.

Якщо розташувати зазначені точки симетрично початку координат і на осі Ох F1 (0; -с) і F2(0; с), то після рішення задачі типу 2 отримаємо канонічне рівняння еліпса  . У цьому рівнянні параметри гіперболи а, в, з пов'язані співвідношенням а2+ b2= c2 .

Точки перетину гіперболи з осями координат називають вершинами гіперболи. Виявляється, що гіпербола перетинає тільки вісь Ох. Але в аналітичної геометрії цей факт тлумачать так: гіпербола перетинає вісь Ох в дійсних вершинах A1(-a; 0) і A2(-a; 0), а вісь Оу в уявних вершинах В1(0; -b) і B2(0; b). Відповідно, відстані від початку координат до дійсних вершин називають дійсними півосями гіперболи, а відстані від початку координат до уявних вершин називають уявними півосями гіперболи. Фокуси розташовані на дійсній півосі. Ставлення 2c / 2a = c / a називають ексцентриситет гіперболи. Ексцентриситет може приймати значення від 1 до нескінченності. Гіпербола - одна з класичних кривих 2-го порядку.

Відзначимо деякі особливості побудови гіперболи. З канонічного рівняння гіперболи видно, що крива симетрична відносно обох координатних осей. Побудуємо її тільки в першій чверті Для цього обчислимо у з канонічного рівняння y =  . Якщо тепер збільшувати х необмежено, то другий співмножник згодом преврататся в 1 і зміна у буде повністю пов'язано першим множником. Інакше кажучи, зі збільшенням х гіпербола наближається, не перетинаючи, до прямої у = bx / a. Таку пряму в аналітичної геометрії називають асимптотой.

Тепер можна братися за побудову кривої в такому порядку:

1-й крок - на площині з введеної декартовой системою координат зображуємо фокуси і дійсні вершини гіперболи (точки перетину з дійсної остю);

2-й крок - будують "опорний прямокутник" зі сторонами x =  , Y = ;

3-й крок - проводять діагоналі прямокутника - асимптоти кривої;

4-й крок - в першій чверті координатної площини, починаючи від вершини проводять плавну криву поза прямокутника, яка наближається до асимптоти - діагоналі і не перетинає її;

5-й крок - відображають отриману криву в координатних осях і отримують всю гіперболу.

Визна. Безліч точок площини, кожна з котрих рівновіддалена від даної точки F (фокуса) і даної прямої (директриси), називається параболою.

Якщо розташувати фокус на осі Ох в точці F (p / 2; 0), а директрису взяти у вигляді х = p / 2 і вирішити задачу типу 2, то отримаємо канонічне рівняння параболи y2= 2px.

Відмінність такого рівняння параболи від графіка квадратного тричлена чисто символічне - помінялися осі симетрії.

 



Рівняння першого ступеня в просторі | Рівняння 2-го ступеня в просторі

Лінійні оператори і матриці | Властивості симетричних матриць | Квадратичні форми і їх приведення до канонічного вигляду | векторна алгебра | Скалярний добуток векторів | Розподіл відрізка в даному відношенні k. | Перевірка паралельності і перпендикулярності векторів. | Рівняння ліній і поверхонь | Рівняння 1-го ступеня на площині | Рівняння першого ступеня в просторі |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати