Головна

Рівняння першого ступеня в просторі

Будь-яку площину в просторі геометрично однозначно задати:

-точка Мо (хо; уо , zо;) На площині і вектором  (А; В; С) нормальним до неї;

-точка Мо (хо; уо , zо;) І відстанню d від початку координат до площини;

-тремя точками на площині;

-двома точками на площині і вектором, паралельним їй і т. д.

У всіх випадках - це завдання 2-го типу і вирішуються вони по одній схемі. Нехай площину задана точкою Мо (хо; уо , zо;) І вектором  (А; В; С) нормальним до неї. Тоді візьмемо на площині точку м (х; у; z). І тоді вектори М Мо і  будуть ортогональні і отримаємо а (х-хо) + В (у-уо) + С (z- zо) = 0 - рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно вектору. Якщо розкрити дужки і привести подібні, то отримаємо загальне рівняння площини Ах + Ву + Сz + D = 0. З цього рівняння видно, що всяке рівняння першого ступеня з трьома змінними - рівняння площини в просторі. Можна розглядати приватні його випадки в залежності від значень коефіцієнтів А, в, з, D.

Типові завдання на площину в просторі.

1. різні види рівнянь і переходи від одного до іншого виду.

2. відстань від точки до площини.

3. кут між площинами (і взаємне розташування площин).

4. точка перетину площин.

5. пучок площин і ін. Складніші завдання.

Коментар. Слід запам'ятати жорстко найбільш просту для аналітичної геометрії ситуацію: для пошуку рівняння площині слід вказати точку, через яку смужку проходить, і вектор, нормальний площині.

Пряму лінію в просторі в аналітичної геометрії задають у вигляді

перетину двох площин  або .

Можна того ж результату домогтися, задавши пряму проходить через дві задані точки Мо (хо; уо , zо) І М11; у1; z1). Тоді з умов паралельності (коллінеарності) векторів ММО і МОМ1 отримаємо  . Якщо ж позначити вектор МОМ1=  (M; n; p),то отримаємоканонічні рівняння прямоїв просторі  . В останніх двох способах завдання прямої в просторі "втрачені" рівняння двох площин. Коментарем до цього може служити така вказівка ??- ми маємо рівність трьох відносин. Так що, фактично, ми має навіть три площини замість двох (якщо порівнювати по два різних відносини, то завжди вийде рівняння першого порядку в просторі - рівняння площини). Особливостями цих площин буде наступне - кожна з них є проектує цю пряму на деяку координатну площину (в кожному рівнянні площини тільки дві змінні - значить площину перпендикулярна координатної площині).

Важливо вміти робити перехід від одного виду рівняння до іншого і розуміти сенс цих математичних дій в геометрії.

 Приклад 6.2. Знайти, якщо така є, точку перетину трьох площин 2х + 2у + z = 19,

x + 2y + 4z = 31, Рішення. відразу видно, що ранг основної і расшірен-

4x + 6y + 9z = -2. ної матриці не болше 3 і не менше 2. Для уточнення обчислимо =  = 0. Т. о. rancA = 2. Для розширеної матриці маємо =  0. Т. е. RancA '= 3. Система суперечлива - точки перетину немає. Геометрично це говорить в даному випадку про таку ситуацію: паралельних площин немає; отже площині попарно перетинаються і утворюють подобу трикутної призми.

При взаємному розташуванні прямої і площини слід враховувати, що: полскость характеризується норамлью і точкою Мо (хо; уо , zо) На площині, а пряма - напрямних вектором  (M; n; p) і точкою М11; у1; z1) На прямій.

Так, якщо площина паралельна прямій, то маємо завжди  = 0, а якщо площина перпендикулярна прямий, то завжди коллінеарен  . Якщо потрібно знайти точку перетину прямої і площини, то систему

 Ах + Ву + Сz + D = 0

 можна (і навіть краще) вирішувати так: останнім ставлення прирівняти параметру t; потім висловити через параметр змінні x, y, z (x = mt + хо, E = nt + yо, Z = pt + zо; потім знайдене підставити в рівняння площини і знайти значення параметра t для точки перетину; після цього обчислити координати точки перетину через значення параметра.

 



Рівняння першого ступеня в просторі | Рівняння 2-го ступеня на площині

Лінійне, евклидово і нормоване простору. | Лінійні оператори і матриці | Властивості симетричних матриць | Квадратичні форми і їх приведення до канонічного вигляду | векторна алгебра | Скалярний добуток векторів | Розподіл відрізка в даному відношенні k. | Перевірка паралельності і перпендикулярності векторів. | Рівняння ліній і поверхонь | Рівняння 1-го ступеня на площині |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати