Головна

Рівняння ліній і поверхонь

Визна. Безліч (сукупність, сімейство) точок площини з введеної системою декартових координат, координати кожної з яких задовольняють рівняння F (x, y) = 0, називають лінія на площині, а саме рівняння - рівнянням цієї лінії.

Коментар. Навіть в разі відсутності фактичної лінії в аналітичної геометрії рівняння прийнято називати рівнянням лінії. Наприклад, рівняння х2 + у2 + 9 = 0 тільки зовні схоже на рівняння кола, а фактично такої не представляє. І тоді його називають рівнянням уявної окружності.

Дотримуючись визначенню, можна розглядати два типи завдань:

1-й тип - дано рівняння і потрібно зобразити лінію;

2-й тип - дано опис лінії і потрібно з цього опису скласти (вивести, отримати) рівняння лінії.

Перший тип частково вирішене ще в шкільному курсі і частково буде вирішуватися в розділах 3 і 4. Другий тип вирішується завжди по одній і тій же схемі:

1-й крок - беремо довільну точку М (х; у) і припускаємо, що вона належить шуканої лінії;

2-й крок - математичними засобами пов'язуємо координати точки М і характеристики лінії з її опису і отримуємо рівняння лінії.

У деяких випадках замість зазначених двох етапів використовують готові шаблони рівнянь. Роблять це якщо такі шаблони є в наявності (див. 6.2,6.4).

Приклад 6.1. Скласти рівняння лінії, кожна точка якої рівновіддалена від кінців відрізка АВ, де А (-1; 0), В (3; 0).

Рішення. З геометрії відомо, що шукана лінія - серединний перпендикуляр. Отримаємо його рівняння. Візьмемо М (х; у). Нехай М належить шуканої лінії. Тоді справедливо рівність АМ = ВМ. Фактично ми вже записали рівняння лінії. Залишається його перетворити до виду F (x, y) = 0. Відомо, що АМ =  . Аналогічно ВМ =  . отримуємо =  . Отримане набагато ближче до необхідного. Залишається пра перетворити його і отримати остаточно х = 1.

Визна. Безліч точок простору з введеної системою координат, координати кожної з яких задовольняють рівняння F (x, y, z) = 0, називають поверхнею. А рівняння - рівнянням поверхні в просторі.

Для цього визначення справедливі ті ж завдання, що і вище як і схема їх рішень.

Визна. систему  прийнято називати рівняннями лінії в просторі.

Як бачимо, для лінії слід говорити 'рівняння лінії'.

Визна. Алгебраїчними лініями (поверхнями) називають лінії (в просторі або на площині), рівняння яких представлені поліномами від змінних.

Визна. Порядок лінії (поверхні) - це сумарна найвищий ступінь змінних в кожному доданку полінома.

 



Перевірка паралельності і перпендикулярності векторів. | Рівняння 1-го ступеня на площині

Загальний алгоритм розв'язання системи лінійних рівнянь | Матричний метод вирішення лінійної системи. | Поняття про наближених методах вирішення лінійних систем | Лінійне, евклидово і нормоване простору. | Лінійні оператори і матриці | Властивості симетричних матриць | Квадратичні форми і їх приведення до канонічного вигляду | векторна алгебра | Скалярний добуток векторів | Розподіл відрізка в даному відношенні k. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати