Головна

Властивості симетричних матриць

Визна. Матрицю називають симетричної, якщо aij= aji. Для всіх i, j.

Теорема. Власні значення симетричної матриці - дійсні числа, власні вектори - ортогональні.

Док. Обмежимося матрицею розмірності 2. Маємо А =  . Характеристичне рівняння має вигляд до2- (А11+ а22) + (А11а22122) = 0. Його дискримінант дорівнює (а11+ а22)2-4 (А11а22122) = (А1122)2+ 4а122  0. А це значить - коріння квадратного рівняння дійсні числа.

Розглянемо випадок різних коренів. Тоді по Вієта маємо до1+ до2= а11+ а22, І до1к2= а11а22122 . з іншого боку для до1 знайдемо власний вектор 1 з системи  Як відомо, в цій системі одне з рівнянь зайве, т. К. RancA = 1. І тому ми відкинемо, наприклад, друге рівняння в системі і візьмемо х2= а11-до1 . Тоді отримаємо власний вектор 1= (- А12 а11-до1)T . З аналогічних міркувань знайдемо 2= (- А12 а11-до2)T . Тепер обчислимо їх скалярний твір 1 2= а122+ (А11-до1) (А11-до2) = А122+ а112- а1111+ а22) + А11а22122 = 0.

Якщо ж коріння рівні, то це відбувається тільки тоді, коли одночасно а12= 0 і а11- а22= 0. Але це може бути тільки якщо до1= до2 = а11. Але тоді як 1 можна взяти 1= (1 0)T , А в якості 2 можна взяти 2= (0 1)T . І все одно вони будуть ортогональні.



Лінійні оператори і матриці | Квадратичні форми і їх приведення до канонічного вигляду

Лінійні операції над векторами | Матриці і математичні дії з ними | Визначники та їх властивості | Системи лінійних алгебраїчних рівнянь | формули Крамера | Загальний алгоритм розв'язання системи лінійних рівнянь | Матричний метод вирішення лінійної системи. | Поняття про наближених методах вирішення лінійних систем | Лінійне, евклидово і нормоване простору. | векторна алгебра |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати