Головна

Лінійне, евклидово і нормоване простору.

Визначення. Безліч М елементів x, y, z ... будь-якої природи називають лінійним (Аффінним, векторних) простором, якщо виконані вимоги:

1-е. Є правило, за яким будь-яким двом елементам х і у з М ставиться у відповідність третій елемент z з М, званий сумою і позначається x + y = z.

2-е. Є правило за яким будь-якого елементу х з М і дійсному числу до ставиться у відповідність елемент у з М, званий твором числа на елемент, який позначають кx = y.

3-е. Зазначені правила підпадають під дію законів (аксіом):

1 * - x + y = y + x: 2 * - (x + y) + z = x + (y + z); 3 * - існує елемент, званий нуль елементом, який позначають 0, такий, що x + 0 = x; 4 * - для кожного х існує елемент, званий протилежний і позначається х, такий що х + (- х) = 0; 5 * 1х = х; 6 * - з (кх) = (ск) Х - сполучний закон для множення; 7 * - (до + с) Х = кх + сх - розподільний закон множення відносно додавання; 8 * - до (х + у) = кх + ку - розподільний закон складання відносно множення.

Якщо ж природа елементів вказана так само як і конкретний вид операцій, то безліч називають конкретним лінійним простором.

Приклади. Безліч всіх векторів на прямій (на площині, в просторі), якщо складання визначено за правилом трикутника (паралелограма), а множення на число як деформація, буде лінійним векторним простором з позначенням V1(V2, V3).

Безліч поліномів степеня не вище 2, якщо правила підсумовування і множення на число визначені як зазвичай, лінійне векторне простір.

Безліч функцій, безперервних на відрізку, безліч рішень однорідної системи і т. Д.

У той же час поліномів степеня 2, якщо правила підсумовування і множення на число визначені як правило, не буде лінійним векторним простором, т. К. Можливо втрата старшого ступеня при підсумовуванні таких поліномів (після приведення подібних).

Елементи лінійних просторів прийнято називати векторами. А т. К. Множення виробляють на дійсне число, то ще й дійсними.

Визна. вираз  прийнято називати лінійною комбінацією елементів (векторів) ЛП.

Визна. Елементи (вектори) {xi} Називають лінійно незалежними, якщо їх  звертається в нуль тоді і тільки тоді, коли всі ai = 0.

Визна. Безліч {xi} Ненульових лінійно незалежних векторів (елементів) називають базисом ЛП, якщо для будь-якого х не з цієї множини існують такі {ai } Не всі рівні нулю, що буде справедливо рівність х =  . Остання рівність називають розкладанням елемента х в базисі (по базису).

Визна. ЛП називають n-мірним, якщо в ньому існують n лінійно незалежних вектора, а n + 1 вектор вже будуть лінійно залежними. N називають розмірність ЛП і записують це так dimM = n.

Т. к. Інших операцій в ЛП не введено, то

Визна. Два ЛП називають ізоморфними, якщо між їх елементами встановлено взаємно-однозначна відповідність ТКК, що, якщо х і у належать ЛП M і їм відповідають x ', y' з ЛП M ', то х + у відповідає x' + y ', а кх відповідає кx 'з М'.

З останнього випливає, що єдиною характеристикою ЛП є його розмірність. Пишуть так Mn.

Визна. Підмножина L з ЛП М, в якому справедливі зазначені в ухвалі ЛП операції називають лінійним подпространством з Mn.

Визначення. Дійсне ЛП називають евклідовим, якщо виконані вимоги:

2 є правило, за яким будь-яким х і у з ЛП ставиться у відповідність дійсне число, зване скалярним твором і позначається (х, у);

3 вказане правило підпорядковується аксіомам: а - (х, у) = (у, х); б - (х1+ х2) У = х1у + х2у; с - (кх, у) = до (х, у) для будь-якого до; d - (х, х)> 0, якщо х не нульовий і (х, х) = 0, якщо х - нульовий.

Прикладами евклидова простору будуть вже згадувані раніше V1, V2, V3.

Прикладом ЕП буде безліч впорядкованих сукупностей Аn, якщо операцію скалярний твір визначити за формулою (х, у) = .

Властивості. Для будь-яких х и у з ЕП справедливо рівність (Коші-Буняковсого) (Х, у)2  (Х, х) (у, у).

Доведення. Згідно аксіоми d маємо (кх-у, кх-у) = до2(Х, х) 2К (х, у) + (у, у)  0. Для того, щоб квадратний тричлен був неотрицателен при будь-яких значеннях змінної до потрібно, щоб дискримінант був неположітелен. Отримуємо (х, у)2- (Х, х) (у, у)  0. Звідки і слід необхідне.

Визна. ЛП називають нормованим, якщо виконані вимоги:

1 є правило, за яким будь-якого х з ЛП ставиться у відповідність дійсне число, зване нормою елемента і позначається  (Довжиною);

2 це правило підпорядковується аксіомам: а -  > 0, якщо х НЕ нуль і  = 0, якщо х - нуль-елемент; б - =  для будь-якого дійсного до; с - для будь-яких х і у вірно +  - Нерівність трикутника.

ЕП буде нормованим, якщо норму визначити так =  (Корінь квадратний зі скалярного квадрата).

Визна. n - елементів ei  0 утворюють ортонормованій базис в ЛП, якщо:

а - (ei , ei) =  . отримання  = 1 називають нормуванням.

Властивість. Якщо ЛП ортонормированном з базисом {ei }, То (х, у) = .

Док-во. Нехай х і у довільні з ЕП і {ei } Довільний ортонормованій в ньому. Тоді х =  і у =  . Але тоді (х, у) = ( ,  ) =  , З огляду на ортогональности ei.

Тепер легко з'ясувати зміст поняття 'координата' в ортонормированном базисі. Візьмемо довільний х =  і довільний ei з базису. Обчислимо (х, ei) = (  , ei) = Xi . Т. е. Координата - це твір вектора х на базисний орт.

в



Поняття про наближених методах вирішення лінійних систем | Лінійні оператори і матриці

Лінійні операції над векторами | Матриці і математичні дії з ними | Визначники та їх властивості | Системи лінійних алгебраїчних рівнянь | формули Крамера | Загальний алгоритм розв'язання системи лінійних рівнянь | Матричний метод вирішення лінійної системи. | Властивості симетричних матриць | Квадратичні форми і їх приведення до канонічного вигляду | векторна алгебра |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати